> >

Det kortaste avståndet mellan två. Den kortaste vägen på jorden och på kartan. Vinkel mellan två korsande räta linjer

Banan längs den prickade linjen i bilden är kortare än banan längs den heldragna. Och nu lite mer detaljer med exemplet på sjövägar:

Om du seglar på en konstant kurs, kommer banan för fartygets rörelse längs jordens yta att vara en kurva, kallad i matematik logaritmiskspiral.

I navigering kallas denna komplexa linje med dubbelkrökning rhoxodrom, som översatt från grekiska betyder "sned löpning".

Det kortaste avståndet mellan två punkter på jordklotet mäts dock längs en storcirkels båge.

En storcirkels båge erhålls som ett spår från skärningen av jordytan med ett plan som passerar genom jordens centrum, taget som en boll.

I navigering kallas storcirkelbågen ortodromi, vilket översatt betyder "raktlöpande". Den andra egenskapen hos ortodromin är att den skär meridianerna i olika vinklar (fig. 29).

Skillnaden i avstånd mellan två punkter på jordens yta enligt loxodrom och ortodrom är av praktisk betydelse endast vid stora havsöverfarter.

Under normala förhållanden försummas denna skillnad och simningen utförs på en konstant kurs, d.v.s. av rhoxodrome.

För att härleda ekvationen, låt oss ta rhoxodromen (Fig. 30, A) två poäng A Och I, avståndet mellan dem är helt enkelt litet. Genom att rita meridianer och en parallell genom dem får vi en elementär rätvinklig sfärisk triangel ABC. I denna triangel är vinkeln som bildas av skärningspunkten mellan meridianen och parallellen rät, och vinkeln PnAB lika med fartygets kurs K. Katet AC representerar ett segment av meridianbågen och kan uttryckas

Var R - jordens radie tagen som en sfär;

Δφ - elementär ökning av latitud (skillnad i latitud).

Ben NE representerar ett parallellt bågsegment

där r - parallell radie;

Δλ - elementär skillnad i longitud.

Från triangel OO 1 C det kan man hitta

Sedan i den slutliga formen benet NE kan uttryckas så här:

Ta en elementär sfärisk triangel ABC för lägenhet, skriver vi

Efter reduktion R och ersätta elementära små inkrement av koordinater med oändliga små vi kommer att ha

Låt oss integrera det resulterande uttrycket i intervallet från φ 1, λ 1 till φ 2, λ 2 med tanke på att tgK-värdet är konstant:

På höger sida har vi en bordsintegral. Efter att ha ersatt dess värde får vi ekvationen för loxodromy på en boll

Analys av denna ekvation gör att vi kan dra följande slutsatser:

Vid kurser av 0 och 180° förvandlas loxodromen till en båge av en stor cirkel - en meridian;

Vid kurser av 90 och 270° sammanfaller rhoxodromen med parallellen;

En loxodrome korsar varje parallell bara en gång, men varje meridian ett oändligt antal gånger. de där. spiral mot stolpen, den når den inte.

Att segla på en konstant kurs, det vill säga längs rhoxodromen, även om det inte är det kortaste avståndet mellan två punkter på jorden, ger betydande bekvämlighet för navigatören.

Kraven för ett sjökort kan formuleras utifrån fördelen med att segla längs rhoxodromen och resultaten av att analysera dess ekvation enligt följande.

1. En loxodrome, som korsar meridianerna i en konstant vinkel, bör avbildas som en rät linje.

2. Den kartografiska projektionen som används för att konstruera kartor måste vara konform så att kurserna, bäringarna och vinklarna på den motsvarar deras betydelse på marken.

3. Meridianer och paralleller, som kurslinjer på 0, 90, 180° och 270°, måste vara ömsesidigt vinkelräta räta linjer.

Det kortaste avståndet mellan två givna punkter på jordens yta, taget som en sfär, är den mindre av storcirkelns bågar som passerar genom dessa punkter. Förutom i fallet med ett fartyg som följer en meridian eller ekvator, skär en ortodrom meridianerna i olika vinklar. Därför måste ett fartyg som följer en sådan kurva ständigt ändra sin kurs. I praktiken är det bekvämare att följa en kurs som gör en konstant vinkel med meridianerna och avbildas på kartan i Mercator-projektionen med en rak linje - en loxodrome. På stora avstånd når dock skillnaden i längd mellan ortodromen och loxodromen ett betydande värde. Därför beräknas ortodromen i sådana fall och mellanliggande punkter markeras på den, mellan vilka de seglar längs loxodromen.

En kartografisk projektion som uppfyller ovanstående krav föreslogs av den holländska kartografen Gerard Cramer (Mercator) 1569. För att hedra sin skapare fick projektionen namnet Mercatorian

Och den som vill lära sig ännu mer intressant information, ta reda på mer Originalartikeln finns på hemsidan InfoGlaz.rf Länk till artikeln som denna kopia gjordes från -

Dijkstras algoritm är en grafalgoritm som uppfanns av den holländska forskaren Edsger Dijkstra 1959. Hittar de kortaste vägarna från en av grafens hörn till alla andra. Algoritmen fungerar endast för grafer utan kanter med negativ vikt.

Låt oss överväga utförandet av algoritmen med hjälp av exemplet på grafen som visas i figuren.

Anta att du behöver hitta de kortaste avstånden från första hörnet till alla andra.

Cirklarna indikerar hörn, linjerna indikerar banorna mellan dem (grafens kanter). Numren på hörnen anges i cirklarna, och deras "pris" anges ovanför kanterna - banans längd. Bredvid varje vertex finns ett rött märke - längden på den kortaste vägen till denna vertex från vertex 1.

Första steget. Låt oss titta på steget i Dijkstras algoritm för vårt exempel. Vertex 1 har minimietiketten. Dess grannar är hörn 2, 3 och 6.

Den första granne till vertex 1 är vertex 2, eftersom längden på vägen dit är minimal. Längden på banan in till den genom vertex 1 är lika med summan av värdet på etiketten för vertex 1 och längden på kanten som går från 1:a till 2:a, det vill säga 0 + 7 = 7. Detta är mindre än nuvarande etikett för vertex 2, infinity, så den nya etiketten är 2:a hörn är 7.

Vi utför en liknande operation med två andra grannar till den 1: a vertexen - den 3: e och 6: e.

Alla grannar till vertex 1 är kontrollerade. Det nuvarande minimiavståndet till vertex 1 anses vara slutgiltigt och kan inte revideras (att detta verkligen är fallet bevisades först av E. Dijkstra). Låt oss stryka det från grafen för att markera att denna vertex har besökts.

Andra steg. Algoritmsteget upprepas. Återigen hittar vi det "närmaste" av de obesökta hörnen. Detta är vertex 2 med etikett 7.

Återigen försöker vi minska beteckningarna för grannarna till den valda vertexen, och försöker passera genom den 2:a vertexen in i dem. Grannarna till vertex 2 är hörn 1, 3 och 4.

Den första (i ordning) granne till vertex 2 är vertex 1. Men den har redan besökts, så vi gör ingenting med den 1: a vertexen.

Nästa granne till vertex 2 är vertex 3, eftersom den har minimietiketten för de hörn som är markerade som ej besökta. Om du går till den genom 2, kommer längden på en sådan väg att vara lika med 17 (7 + 10 = 17). Men den nuvarande etiketten för den tredje vertexen är 9, vilket är mindre än 17, så etiketten ändras inte.

En annan granne till vertex 2 är vertex 4. Om du går till det genom den 2: a, så kommer längden på en sådan väg att vara lika med summan av det kortaste avståndet till 2: a vertex och avståndet mellan vertex 2 och 4, det vill säga , 22 (7 + 15 = 22). Sedan 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Alla grannar till vertex 2 har setts, vi fryser avståndet till det och markerar det som besökt.

Tredje steget. Vi upprepar algoritmsteget och väljer vertex 3. Efter att ha "bearbetat" det får vi följande resultat:

Nästa steg. Vi upprepar algoritmsteget för de återstående hörnen. Dessa kommer att vara hörn 6, 4 och 5, enligt ordningen.

Slutföra exekveringen av algoritmen. Algoritmen avslutas när inga fler hörn kan bearbetas. I det här exemplet är alla hörn överstrukna, men det är ett misstag att anta att så kommer att vara fallet i vilket exempel som helst - vissa hörn kan förbli oöverkorsade om de inte kan nås, det vill säga om grafen kopplas bort. Resultatet av algoritmen är synligt i den sista figuren: den kortaste vägen från vertex 1 till 2 är 7, till 3 är 9, till 4 är 20, till 5 är 20, till 6 är 11.

Implementering av algoritmen i olika programmeringsspråk:

C++

#inkludera "stdafx.h" #inkludera använder namnutrymme std; const int V=6; //Dijkstras algoritm void Dijkstra(int GR[V][V], int st) (int avstånd[V], count, index, i, u, m=st+1; bool besökt[V]; för (i= 0;i "< "<> "; cin>>start; Dijkstra(GR, start-1); system("paus>>void"); )

Pascal

program DijkstraAlgorithm; använder crt; konst V=6; inf=100000; typ vektor=array av heltal; var start: heltal; const GR: matris av heltal=((0, 1, 4, 0, 2, 0), (0, 0, 0, 9, 0, 0), (4, 0, 0, 7, 0, 0), (0, 9, 7, 0, 0, 2), (0, 0, 0, 0, 0, 8), (0, 0, 0, 0, 0, 0)); (Dijkstras algoritm) procedur Dijkstra(GR: matris av heltal; st: heltal); var count, index, i, u, m, min: heltal; avstånd: vektor; besökt: rad booleska; börja m:=st; för i:=1 till V börjar avstånd[i]:=inf; besökt[i]:=falskt; slutet; avstånd:=0; för count:=1 till V-1 börjar min:=inf; för i:=1 till V gör if (ej besökt[i]) och (avstånd[i]<=min) then begin min:=distance[i]; index:=i; end; u:=index; visited[u]:=true; for i:=1 to V do if (not visited[i]) and (GR<>0) och (avstånd[u]<>inf) och (avstånd[u]+GR inf sedan writeln(m," > ", i," = ", avstånd[i]) annars writeln(m," > ", i," = ", "rutt otillgänglig"); slutet; (huvudblocket i programmet) börja clrscr; write("Start vertex >> "); read(start); Dijkstra(GR, start); slutet.

Java

importera java.io.BufferedReader; importera java.io.IOException; importera java.io.InputStreamReader; importera java.io.PrintWriter; importera java.util.ArrayList; importera java.util.Arrays; importera java.util.StringTokenizer; public class Solution ( privat statisk int INF = Integer.MAX_VALUE / 2; privat int n; //antal hörn i digrafen privat int m; //antal bågar i digrafen privat ArrayList adj; //adjacency list privat ArrayList vikt; //kantens vikt i digraph privat boolean används; //array för lagring av information om korsade och oöverträdda hörn privat int dist; //array för att lagra avståndet från startpunkten //array av förfäder som krävs för att återställa den kortaste vägen från startpunkten privat int pred; int start; //startpunkt från vilken avståndet till alla andra hörn söks privat BufferedReader cin; privat PrintWriter cout; privat StringTokenizer tokenizer; //procedur för att starta Dijkstras algoritm från startpunkten privat void dejkstra(int s) ( dist[s] = 0; //kortaste avståndet till startpunkten är 0 för (int iter = 0; iter< n; ++iter) { int v = -1; int distV = INF; //выбираем вершину, кратчайшее расстояние до которого еще не найдено for (int i = 0; i < n; ++i) { if (used[i]) { continue; } if (distV < dist[i]) { continue; } v = i; distV = dist[i]; } //рассматриваем все дуги, исходящие из найденной вершины for (int i = 0; i < adj[v].size(); ++i) { int u = adj[v].get(i); int weightU = weight[v].get(i); //релаксация вершины if (dist[v] + weightU < dist[u]) { dist[u] = dist[v] + weightU; pred[u] = v; } } //помечаем вершину v просмотренной, до нее найдено кратчайшее расстояние used[v] = true; } } //процедура считывания входных данных с консоли private void readData() throws IOException { cin = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); cout = new PrintWriter(System.out); tokenizer = new StringTokenizer(cin.readLine()); n = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()); //считываем количество вершин графа m = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()); //считываем количество ребер графа start = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()) - 1; //инициализируем списка смежности графа размерности n adj = new ArrayList[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) { adj[i] = new ArrayList(); ) //initiering av listan som lagrar vikten av kanternas vikt = new ArrayList[n]; för (int i = 0; i< n; ++i) { weight[i] = new ArrayList(); ) //läs grafen som anges av listan över kanter för (int i = 0; i< m; ++i) { tokenizer = new StringTokenizer(cin.readLine()); int u = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()); int v = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()); int w = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken()); u--; v--; adj[u].add(v); weight[u].add(w); } used = new boolean[n]; Arrays.fill(used, false); pred = new int[n]; Arrays.fill(pred, -1); dist = new int[n]; Arrays.fill(dist, INF); } //процедура восстановления кратчайшего пути по массиву предком void printWay(int v) { if (v == -1) { return; } printWay(pred[v]); cout.print((v + 1) + " "); } //процедура вывода данных в консоль private void printData() throws IOException { for (int v = 0; v < n; ++v) { if (dist[v] != INF) { cout.print(dist[v] + " "); } else { cout.print("-1 "); } } cout.println(); for (int v = 0; v < n; ++v) { cout.print((v + 1) + ": "); if (dist[v] != INF) { printWay(v); } cout.println(); } cin.close(); cout.close(); } private void run() throws IOException { readData(); dejkstra(start); printData(); cin.close(); cout.close(); } public static void main(String args) throws IOException { Solution solution = new Solution(); solution.run(); } }

Ett annat alternativ:

Importera java.io.*; importera java.util.*; public class Dijkstra ( privat statisk slutgiltig Graph.Edge GRAPH = ( new Graph.Edge("a", "b", 7), new Graph.Edge("a", "c", 9), new Graph.Edge( "a", "f", 14), new Graph.Edge("b", "c", 10), new Graph.Edge("b", "d", 15), new Graph.Edge("c ", "d", 11), new Graph.Edge("c", "f", 2), new Graph.Edge("d", "e", 6), new Graph.Edge("e", "f", 9), ); privat statisk slutsträng START = "a"; privat statisk slutsträng END = "e"; public static void main(String args) ( Graph g = new Graph(GRAPH); g.dijkstra (START); g.printPath(END); //g.printAllPaths(); ) ) class Graph ( privat slutlig karta Graf; // mappning av vertexnamn till vertexobjekt, byggda från en uppsättning kanter /** En kant av grafen (används endast av Graph constructor) */ public static class Edge ( public final String v1, v2; public final int dist; public Edge(String v1, String v2, int dist) ( this.v1 = v1; this.v2 = v2; this.dist = dist; ) ) /** En vertex av grafen, komplett med mappningar till angränsande hörn */ offentlig statisk klass Vertex-redskap Jämförbara (public final String name; public int dist = Integer.MAX_VALUE; // MAX_VALUE antas vara oändligt offentlig Vertex föregående = null; offentlig final Map grannar = nya HashMap<>(); public Vertex(String name) ( this.name = name; ) private void printPath() ( if (this == this.previous) ( System.out.printf("%s", this.name); ) else if ( this.previous == null) ( System.out.printf("%s(unreached)", this.name); ) else ( this.previous.printPath(); System.out.printf(" -> %s( %d)", this.name, this.dist); ) ) public int compareTo(Vertex other) ( return Integer.compare(dist, other.dist); ) ) /** Bygger en graf från en uppsättning kanter * / public Graph(Edge edges) ( graph = new HashMap<>(kanter.längd); //ett pass för att hitta alla hörn för (Edge e: edges) ( if (!graph.containsKey(e.v1)) graph.put(e.v1, new Vertex(e.v1)); if (!graph. containsKey(e.v2)) graph.put(e.v2, new Vertex(e.v2)); ) //ett pass för att ställa in angränsande hörn för (Edge e: edges) ( graph.get(e.v1). neighbors.put(graph.get(e.v2), e.dist); //graph.get(e.v2).neighbors.put(graph.get(e.v1), e.dist); // also gör detta för en oriktad graf ) ) /** Kör dijkstra med en specificerad källpunkt */ public void dijkstra(String startName) ( if (!graph.containsKey(startName)) ( System.err.printf("Graph does"t innehåller startpunkt \"%s\"\n", startName); return; ) final Vertex source = graph.get(startName); NavigableSet q = nytt träduppsättning<>(); // ställ in hörn för (Vertex v: graph.values()) ( v.previous = v == källa ? källa: null; v.dist = v == källa ? 0: Integer.MAX_VALUE; q.add( v);) dijkstra(q); ) /** Implementering av dijkstras algoritm med hjälp av en binär hög. */ private void dijkstra(final NavigableSet q) ( Vertex u, v; while (!q.isEmpty()) ( u = q.pollFirst(); // vertex med kortast avstånd (första iterationen returnerar källan) if (u.dist == Integer.MAX_VALUE) bryta; // vi kan ignorera u (och alla andra återstående hörn) eftersom de är oåtkomliga //se på avstånd till varje granne efter (Map.Entry a: u.neighbours.entrySet()) ( v = a.getKey(); //grannen i denna iteration final int alternateDist = u.dist + a.getValue(); if (alternateDist< v.dist) { // shorter path to neighbour found q.remove(v); v.dist = alternateDist; v.previous = u; q.add(v); } } } } /** Prints a path from the source to the specified vertex */ public void printPath(String endName) { if (!graph.containsKey(endName)) { System.err.printf("Graph doesn"t contain end vertex \"%s\"\n", endName); return; } graph.get(endName).printPath(); System.out.println(); } /** Prints the path from the source to every vertex (output order is not guaranteed) */ public void printAllPaths() { for (Vertex v: graph.values()) { v.printPath(); System.out.println(); } } }

C

#omfatta #omfatta #omfatta //#define BIG_EXAMPLE typedef struct node_t node_t, *heap_t; typedef struct edge_t edge_t; struct edge_t ( node_t *nd; /* mål för denna kant */ edge_t *syskon;/* för enkellänkad lista */ int len; /* edge cost */ ); struct node_t ( edge_t *edge; /* enkellänkad lista med kanter */ node_t *via; /* där föregående nod är i kortaste vägen */ dubbel dist; /* avstånd från ursprungsnoden */ char name; /* the, er , namn */ int heap_idx; /* länk till högposition för uppdatering av avstånd */ ); /* --- kanthantering --- */ #ifdef BIG_EXAMPLE # define BLOCK_SIZE (1024 * 32 - 1) #else # define BLOCK_SIZE 15 #endif edge_t *edge_root = 0, *e_next = 0; /* Bry dig inte om minneshanteringsgrejer, de är mer än poängen. Låtsas e_next = malloc(sizeof(edge_t)) */ void add_edge(node_t *a, node_t *b, double d) ( if (e_next == edge_root) ) ( edge_root = malloc(sizeof(edge_t) * (BLOCK_SIZE + 1)); edge_root.sibling = e_next; e_next = edge_root + BLOCK_SIZE; ) --e_next; e_next->nd = b; e_next d->lenn =_next->lenn ->syskon = a->edge; a->edge = e_next; ) void free_edges() ( för (; edge_root; edge_root = e_next) ( e_next = edge_root.sibling; free(edge_root); ) ) /* --- prioriterade kösaker --- */ heap_t *heap; int heap_len; void set_dist(node_t *nd, node_t *via, double d) ( int i, j; /* visste redan bättre väg */ if (nd->via && d >= nd->dist) return; /* hitta befintlig heap-post, eller skapa en ny */ nd->dist = d; nd->via = via; i = nd->heap_idx; if (!i) i = ++heap_len; /* upheap */ för (; i > 1 && nd->dist< heap->dist; i = j) (hög[i] = hög[j])->hög_idx = i; heap[i] = nd; nd->heap_idx = i; ) node_t * pop_queue() ( node_t *nd, *tmp; int i, j; if (!heap_len) returnera 0; /* ta bort inledande element, dra svanselementet dit och nerhög */ nd = hög; tmp = hög; för (i = 1; i< heap_len && (j = i * 2) <= heap_len; i = j) { if (j < heap_len && heap[j]->dist > heap->dist) j++; om (hög[j]->avstånd >= tmp->avstånd) bryta; (hög[i] = hög[j])->hög_idx = i; ) heap[i] = tmp; tmp->heap_idx = i; returnera nd; ) /* --- Dijkstra grejer; oåtkomliga noder kommer aldrig in i kön --- */ void calc_all(node_t *start) ( node_t *lead; edge_t *e; set_dist(start, start, 0); while ((lead = pop_queue())) for ( e = lead->edge; e; e = e->syskon) set_dist(e->nd, lead, lead->dist + e->len); ) void show_path(node_t *nd) ( if (nd-> via == nd) printf("%s", nd->name); else if (!nd->via) printf("%s(unreached)", nd->name); else ( show_path(nd-> via); printf("-> %s(%g) ", nd->name, nd->dist); ) ) int main(void) ( #ifndef BIG_EXAMPLE int i; # define N_NODES ("f" - " a" + 1) node_t *noder = calloc(sizeof(nod_t), N_NODES); för (i = 0; i< N_NODES; i++) sprintf(nodes[i].name, "%c", "a" + i); # define E(a, b, c) add_edge(nodes + (a - "a"), nodes + (b - "a"), c) E("a", "b", 7); E("a", "c", 9); E("a", "f", 14); E("b", "c", 10);E("b", "d", 15);E("c", "d", 11); E("c", "f", 2); E("d", "e", 6); E("e", "f", 9); # undef E #else /* BIG_EXAMPLE */ int i, j, c; # define N_NODES 4000 node_t *nodes = calloc(sizeof(node_t), N_NODES); for (i = 0; i < N_NODES; i++) sprintf(nodes[i].name, "%d", i + 1); /* given any pair of nodes, there"s about 50% chance they are not connected; if connected, the cost is randomly chosen between 0 and 49 (inclusive! see output for consequences) */ for (i = 0; i < N_NODES; i++) { for (j = 0; j < N_NODES; j++) { /* majority of runtime is actually spent here */ if (i == j) continue; c = rand() % 100; if (c < 50) continue; add_edge(nodes + i, nodes + j, c - 50); } } #endif heap = calloc(sizeof(heap_t), N_NODES + 1); heap_len = 0; calc_all(nodes); for (i = 0; i < N_NODES; i++) { show_path(nodes + i); putchar("\n"); } #if 0 /* real programmers don"t free memories (they use Fortran) */ free_edges(); free(heap); free(nodes); #endif return 0; }

PHP

$edge, "cost" => $edge); $neighbors[$edge] = array("end" => $edge, "cost" => $edge); ) $vertices = array_unique($vertices); foreach ($vertex som $vertex) ( $dist[$vertex] = INF; $previous[$vertex] = NULL; ) $dist[$source] = 0; $Q = $vertices; while (count($Q) > 0) ( // TODO - Hitta ett snabbare sätt att få minimum $min = INF; foreach ($Q som $vertex)( if ($dist[$vertex]< $min) { $min = $dist[$vertex]; $u = $vertex; } } $Q = array_diff($Q, array($u)); if ($dist[$u] == INF or $u == $target) { break; } if (isset($neighbours[$u])) { foreach ($neighbours[$u] as $arr) { $alt = $dist[$u] + $arr["cost"]; if ($alt < $dist[$arr["end"]]) { $dist[$arr["end"]] = $alt; $previous[$arr["end"]] = $u; } } } } $path = array(); $u = $target; while (isset($previous[$u])) { array_unshift($path, $u); $u = $previous[$u]; } array_unshift($path, $u); return $path; } $graph_array = array(array("a", "b", 7), array("a", "c", 9), array("a", "f", 14), array("b", "c", 10), array("b", "d", 15), array("c", "d", 11), array("c", "f", 2), array("d", "e", 6), array("e", "f", 9)); $path = dijkstra($graph_array, "a", "e"); echo "path is: ".implode(", ", $path)."\n";


Pytonorm

från samlingar import namedtuple, kö från pprint importera pprint som pp inf = float("inf") Edge = namedtuple("Edge", "start, end, cost") class Graph(): def __init__(self, edges): self .edges = edges2 = self.vertices = set(sum((för e i edges2, )) def dijkstra(self, source, dest): hävda källa i self.vertices dist = (vertex: inf för vertex i self.vertices ) föregående = (vertex: Inget för vertex i self.vertices) dist = 0 q = self.vertices.copy() grannar = (vertex: set() för vertex i self.vertices) för start, slut, kostnad i self. edges : neighbors.add((slut, kostnad)) #pp(grannar) medan q: u = min(q, nyckel=lambda vertex: dist) q.remove(u) if dist[u] == inf eller u = = dest: break för v, kostnad i grannar[u]: alt = dist[u] + kostnad om alt< dist[v]: # Relax (u,v,a) dist[v] = alt previous[v] = u #pp(previous) s, u = deque(), dest while previous[u]: s.pushleft(u) u = previous[u] s.pushleft(u) return s graph = Graph([("a", "b", 7), ("a", "c", 9), ("a", "f", 14), ("b", "c", 10), ("b", "d", 15), ("c", "d", 11), ("c", "f", 2), ("d", "e", 6), ("e", "f", 9)]) pp(graph.dijkstra("a", "e")) Output: ["a", "c", "d", "e"]

DISTANCE, distanser, avg. 1. Ett mellanrum som skiljer två punkter, ett mellanrum mellan något. Det kortaste avståndet mellan två punkter i en rät linje. Han bor två kilometer från oss. "Kommendanten lät dem komma så nära som möjligt... Ushakovs förklarande ordbok

distans- substantiv, s., använd ofta Morfologi: (nej) vad? avstånd, varför? avstånd, (se) vad? avstånd, vad? avstånd, om vad? om avstånd; pl. Vad? avstånd, (nej) vad? avstånd, vad? avstånd, (jag ser) vad? avstånd, vad? avstånd... Dmitrievs förklarande ordbok

distans- jag; ons Utrymmet som skiljer två punkter, två objekt, etc., gapet mellan vilka, än l. Kortaste floden mellan två punkter. R. från hemmet till skolan. Flytta till en närliggande flod. På en meters avstånd, armlängds avstånd. Vet något, känner något. på… … encyklopedisk ordbok

distans- jag; ons se även avstånd a) Det utrymme som skiljer två punkter, två objekt, etc., gapet mellan vilka, än l. Det kortaste avståndet mellan två punkter. Avstånd från hem till skola. Flytta till ett nära avstånd... Ordbok med många uttryck

GEOMETRI- en gren av matematiken som studerar egenskaperna hos olika figurer (punkter, linjer, vinklar, tvådimensionella och tredimensionella objekt), deras storlekar och relativa positioner. För att underlätta undervisningen är geometri indelad i planimetri och stereometri. I… … Colliers uppslagsverk

Navigering*

Navigering- Navigationsavdelningen (q.v.), som innehåller en redogörelse för metoder för att bestämma ett fartygs position till sjöss med hjälp av en kompass och logg (q.v.). Att bestämma platsen för ett fartyg till sjöss innebär att på kartan rita upp den punkt där fartyget för närvarande befinner sig... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus och I.A. Efron

COHEN- (Cohen) Hermann (1842 1918) tysk filosof, grundare och mest framstående representant för Marburg-skolan för nykantianism. Huvudverk: 'Kant's Theory of Experience' (1885), 'Kants Justification of Ethics' (1877), 'Kants Justification of Aesthetics' (1889), 'Logic... ...

Kant Immanuel- Kants livsväg och skrifter Immanuel Kant föddes i Konigsberg (nuvarande Kaliningrad) i Ostpreussen 1724. Hans far var sadelmakare och hans mor hemmafru, sex av deras barn levde inte till vuxen ålder. Kant mindes alltid sina föräldrar från... ... Västerländsk filosofi från dess ursprung till våra dagar

KANTS KRITISKA FILOSOFI: UNDERVISNINGEN OM FÖRMÅGA- (La philosophie critique de Kant: Doctrines des facultes, 1963) arbete av Deleuze. Deleuze kännetecknar den transcendentala metoden i inledningen och noterar att Kant förstår filosofi som vetenskapen om förhållandet mellan all kunskap och väsentliga mål... ... Filosofiens historia: Encyclopedia

Gårdsprincipen- den grundläggande principen för geometrisk optik (Se Geometrisk optik). Den enklaste formen av en f.p. är påståendet att en ljusstråle alltid fortplantar sig i rymden mellan två punkter längs en väg längs vilken dess färdtid är mindre än... Stora sovjetiska encyklopedien

(Beskrivande geometri)
  • CD (CXDX, C2D2) avbildad som en punkt C5 = D5 A5B5 lika...
    (Beskrivande geometri)
  • Bestämma avståndet mellan två parallella plan
    Bestämning av avståndet mellan två parallella plan i allmänt läge 01| X Det är bekvämt att reducera det till problemet med att bestämma avståndet mellan samma två plan, omvandlat till projektorernas position. I det här fallet kommer avståndet mellan planen att bestämmas som vinkelrät mellan linjerna...
    (Beskrivande geometri)
  • Bestämma avståndet mellan två korsande linjer
    Om du behöver bestämma det kortaste avståndet mellan två korsande räta linjer måste du byta projektionsplansystem två gånger. När du löser detta problem, den räta linjen CD (CXDX, C2D2) avbildad som en punkt C5 = D5(Fig. 198). Avstånd från denna punkt till projektionen A5B5 lika...
    (Beskrivande geometri)
  • Vinkel mellan två korsande räta linjer
    Detta är vinkeln mellan två skärande linjer parallella med data. Således liknar denna uppgift den föregående. För att lösa det måste du ta en godtycklig punkt och rita två linjer genom den, parallella med de givna skärande linjerna, och med hjälp av transformationen av projektioner, bestämma önskad vinkel....
    (Fundamentals of descriptive geometry. Kort kurs och problemsamling.)
  • Bestämma avståndet mellan två parallella linjer
    Problemet löses genom metoden för dubbel ersättning av projektionsplan. I slutskedet måste ett av projektionsplanen vara vinkelrät mot en av de skärande linjerna. Då bestäms det kortaste avståndet mellan dem av storleken på det vinkelräta segmentet mot den andra korsningslinjen (bild 199)....
    (Beskrivande geometri)

    • Efter att ha markerat två punkter på tavlan med krita erbjuder läraren den unge skolpojken en uppgift: att dra den kortaste vägen mellan båda punkterna.

    Eleven, efter att ha tänkt, drar försiktigt en slingrande linje mellan dem.

    – Det är den kortaste vägen! – läraren är förvånad. -Vem lärde dig det?

    - Min pappa. Han är taxichaufför.

    Teckningen av en naiv skolpojke är naturligtvis anekdotisk, men skulle du inte le om du fick veta att den prickade bågen i fig. 1 - den kortaste vägen från Godahoppsudden till Australiens södra spets!

    Ännu mer slående är följande uttalande: visat i fig. 2 är rondellen från Japan till Panamakanalen kortare än den raka linjen som dras mellan dem på samma karta!

    Ris. 1. På en havskarta indikeras den kortaste vägen från Godahoppsudden till Australiens södra spets inte med en rak linje ("loxodrome") utan med en kurva ("ortodrom").


    Allt detta ser ut som ett skämt, och ändå framför dig finns obestridliga sanningar, välkända för kartografer.




    Ris. 2. Det verkar otroligt att den krökta vägen som förbinder Yokohama med Panamakanalen på en havskarta är kortare än en rak linje som dras mellan samma punkter


    För att klargöra frågan måste vi säga några ord om kartor i allmänhet och sjökartor i synnerhet. Att skildra delar av jordens yta på papper är inte en lätt uppgift, inte ens i princip, eftersom jorden är en boll, och man vet att ingen del av en sfärisk yta kan vecklas ut på ett plan utan veck och revor. Man måste oundvikligen stå ut med oundvikliga förvrängningar på kartor. Många sätt att rita kartor har uppfunnits, men alla kartor är inte fria från brister: vissa har förvrängningar av ett slag, andra av ett annat slag, men det finns inga kartor utan förvrängningar alls.

    Sjömän använder kartor ritade enligt metoden av en gammal holländsk kartograf och matematiker på 1500-talet. Mercator. Denna metod kallas "Mercatorian projektion". Det är lätt att känna igen en havskarta på dess rektangulära rutnät: meridianerna är avbildade på den som en serie parallella räta linjer; latitudcirklar är också raka linjer, vinkelräta mot de första (se fig. 5).

    Föreställ dig nu att du behöver hitta den kortaste vägen från en havshamn till en annan, som ligger på samma parallell. På havet är alla stigar tillgängliga, och att resa dit längs den kortaste vägen är alltid möjligt om du vet hur det går. I vårt fall är det naturligt att tro att den kortaste vägen går längs den parallell som båda hamnarna ligger på: trots allt är det på kartan en rak linje, och vad kan vara kortare än en rak väg! Men vi har fel: den parallella vägen är inte alls den kortaste.

    Faktum är att på ytan av en boll är det kortaste avståndet mellan två punkter den stora cirkelbågen som förbinder dem. Men cirkeln av paralleller - små cirkel. En stor cirkels båge är mindre krökt än bågen för en liten cirkel som dras genom samma två punkter: en större radie motsvarar en mindre krökning. Spänn en tråd på jordklotet mellan våra två punkter (jfr fig. 3); du kommer att vara övertygad om att den inte kommer att ligga längs parallellen alls. En sträckt tråd är en obestridlig indikator på den kortaste vägen, och om den inte sammanfaller med en parallell på jordklotet, är den kortaste vägen på en havskarta inte indikerad med en rak linje: kom ihåg att cirklar av paralleller är avbildade på en sådan en karta som räta linjer, men vilken linje som helst som inte sammanfaller med en rät linje , Det finns kurva .



    Ris. 3. Ett enkelt sätt att hitta den verkligt kortaste vägen mellan två punkter: du måste dra en tråd på en jordglob mellan dessa punkter


    Efter det som sagts blir det tydligt varför den kortaste vägen på en sjökarta inte avbildas som en rak linje, utan som en krökt linje.

    De säger att när man valde riktning för järnvägen Nikolaevskaya (nu Oktyabrskaya) fanns det oändliga debatter om vilken väg man skulle lägga den på. Kontroversen fick ett slut genom ingripandet av tsar Nicholas I, som löste problemet bokstavligen "enkelt": han förband St. Petersburg med Moskva längs en linje. Om detta hade gjorts på en Mercator-karta hade resultatet blivit en pinsam överraskning: istället för en rak väg hade vägen blivit krokig.

    Den som inte undviker beräkningar kan med en enkel beräkning försäkra sig om att den väg som verkar krokig för oss på kartan faktiskt är kortare än den som vi är redo att betrakta som rak. Låt våra två hamnar ligga på den 60:e breddgraden och är åtskilda med ett avstånd på 60°. (Om sådana två hamnar faktiskt existerar är naturligtvis oväsentligt för beräkningen.)



    Ris. 4. Att beräkna avstånden mellan punkterna A och B på en boll längs en parallellbåge och längs en storcirkelbåge


    I fig. 4 poäng HANDLA OM - jordens mitt, AB – bågen av den latitudcirkel som hamnarna ligger på A och B; V det är 60°. Mitten av latitudcirkeln är vid punkten MED Låt oss föreställa oss det från mitten HANDLA OM jordklotet dras genom samma hamnar av en båge av en stor cirkel: dess radie OB = OA = R; den kommer att passera nära den ritade bågen AB, men kommer inte att sammanfalla med det.

    Låt oss beräkna längden på varje båge. Eftersom poängen A Och I ligga på latitud 60°, sedan radierna OA Och OB uppgår till OS(globens axel) en vinkel på 30°. I en rätvinklig triangel ASO ben AC (=r), ligger mitt emot en vinkel på 30°, lika med halva hypotenusan JSC;

    Betyder att, r=R/2 Båglängd ABär en sjättedel av längden av latitudcirkeln, och eftersom denna cirkel har halva längden av den stora cirkeln (motsvarande halva radien), så är båglängden för den lilla cirkeln



    För att nu bestämma längden på bågen av en storcirkel ritad mellan samma punkter (dvs den kortaste vägen mellan dem), måste vi ta reda på storleken på vinkeln AOB. Ackord SOM, subtending en båge på 60° (av en liten cirkel), är sidan av en regelbunden hexagon inskriven i samma lilla cirkel; Det är därför AB = r=R/2

    Efter att ha ritat en rak linje O.D. förbinder centrum HANDLA OM klot med mitten D ackord AB, vi får en rätvinklig triangel ODA, var är vinkeln D – hetero:

    DA = 1/2 AB och OA = R.

    sinAOD=AD: AO=R/4:R=0,25

    Härifrån finner vi (från tabellerna):

    =14°28",5

    och därför

    = 28°57".

    Nu är det inte svårt att hitta den erforderliga längden på den kortaste vägen i kilometer. Beräkningen kan förenklas om vi kommer ihåg att längden på en minut av en storcirkel av jordklotet är

    Vi får veta att vägen längs latitudcirkeln, avbildad på havskartan som en rät linje, är 3333 km, och stigen längs storcirkeln - längs kurvan på kartan - är 3213 km, dvs 120 km kortare.

    Beväpnad med en tråd och med en jordglob till hands kan du enkelt kontrollera riktigheten av våra ritningar och se till att bågarna av stora cirklar verkligen ligger som visas i ritningarna. Visat i fig. 1 påstås att den "raka" sjövägen från Afrika till Australien är 6020 miles, och den "kurva" är 5450 miles, dvs kortare med 570 miles, eller 1050 km. Den "direkta" flygvägen från London till Shanghai på havskartan skär Kaspiska havet, medan den kortaste rutten faktiskt går norr om St. Petersburg. Det är tydligt vilken roll dessa frågor spelar för att spara tid och bränsle.

    Om tiden inte alltid värderades under seglingsnavigeringen - då ansågs "tid" ännu inte som "pengar" - då måste man med tillkomsten av ångfartyg betala för varje ton kol som förbrukas överdrivet. Det är därför som nuförtiden fartyg guidas längs den verkligt kortaste vägen, ofta med hjälp av kartor gjorda inte i Mercator-projektionen, utan i den så kallade "centrala" projektionen: på dessa kartor är bågarna av stora cirklar avbildade som raka linjer.

    Varför använde tidigare navigatörer sådana vilseledande kartor och valde ogynnsamma rutter? Det är ett misstag att tro att man förr i tiden inte kände till den nu angivna egenskapen hos sjökort. Saken förklaras naturligtvis inte av detta, utan av att kartor ritade enligt Mercators metod har, tillsammans med olägenheter, fördelar som är mycket värdefulla för sjömän. En sådan karta visar för det första enskilda små delar av jordens yta utan förvrängning och bibehåller konturens vinklar. Detta motsägs inte av det faktum att med avstånd från ekvatorn sträcker sig alla konturer märkbart. På höga breddgrader är sträckningen så betydande att en nautisk karta ger en person som inte är bekant med dess egenskaper en helt falsk uppfattning om kontinenternas verkliga storlek: Grönland verkar vara lika stor som Afrika, Alaska är större än Australien, även om Grönland är 15 gånger mindre än Afrika, och Alaska tillsammans med Grönland hälften så stort som Australien. Men en sjöman som är väl förtrogen med dessa drag på kartan kan inte vilseledas av dem. Han står ut med dem, särskilt eftersom sjökortet inom små områden ger en exakt likhet med naturen (fig. 5).

    Men ett sjökort underlättar i hög grad att lösa problem med navigeringsövningar. Detta är den enda typen av karta där banan för ett fartyg som rör sig på en konstant kurs visas som en rak linje. Att gå på en "konstant kurs" betyder att konsekvent hålla sig till en riktning, en specifik "referenspunkt", med andra ord, att gå på ett sådant sätt att alla meridianer skärs i samma vinkel. Men denna väg ("loxodrome") kan avbildas som en rak linje endast på en karta där alla meridianer är räta linjer parallella med varandra. Och eftersom latitudcirklarna på jordklotet korsar meridianerna i räta vinklar, så borde latitudcirklarna på en sådan karta vara raka linjer vinkelräta mot meridianernas linjer. Kortfattat kommer vi fram till just det koordinatnät som utgör ett karakteristiskt inslag i en havskarta.




    Ris. 5. Nautisk eller Mercator karta över jordklotet. Sådana kartor överdriver kraftigt storleken på konturer på avstånd från ekvatorn. Vad är till exempel större: Grönland eller Australien? (Svara i text)


    Sjömännens förkärlek för Mercators kartor är nu förståelig. För att bestämma kursen som ska följas när han går till den utsedda hamnen, applicerar navigatören en linjal på ändpunkterna av banan och mäter vinkeln den gör med meridianerna. Genom att hålla sig på öppet hav hela tiden i den här riktningen kommer navigatören att exakt föra skeppet till målet. Du ser att "loxodromen" är, om än inte den kortaste och inte den mest ekonomiska, men i ett visst avseende en mycket bekväm väg för en sjöman. För att nå till exempel från Godahoppsudden till Australiens södra spets (se fig. 1) måste man alltid hålla sig på samma kurs S 87°.50". Under tiden för att föra fartyget till samma final. punkt efter den kortaste vägen (enligt "ortodromen" "), är det nödvändigt, som framgår av figuren, att kontinuerligt ändra fartygets kurs: börja med kursen S 42°.50", och avsluta med banan N 53°.50" (i detta fall är den kortaste vägen inte ens möjlig - den vilar på Antarktis isvägg).

    Båda vägarna - längs "loxodromen" och längs "ortodromen" - sammanfaller endast när vägen längs en storcirkel är avbildad på ett sjökort som en rak linje: när du rör dig längs ekvatorn eller längs meridianen. I alla andra fall är dessa vägar olika.



    Solitaire Solitaire
    Det mest intressanta:
    Skyrim blåsig topp hur man tar sig igenom
    Malmutvinning (brytning) Eve online malmkarta
    Den kortaste vägen på jorden och på kartan