Presentation av Bernoulli testreplikeringsscheman. Presentation om ämnet "Bernoulli formel". Lokala och integralsatser från Moivre-Laplace

Upprepade oberoende prövningar kallas Bernoulli-prövningar om varje prövning endast har två möjliga utfall och sannolikheten för resultaten förblir densamma i alla prövningar.

Låt oss beteckna dessa sannolikheter som sid Och q. Utfall med sannolikhet sid vi kommer att kalla det "framgång", och resultatet med sannolikhet q- "misslyckande".

Det är uppenbart att

Plats elementära händelser för varje försök består av två punkter. Utrymme av elementära evenemang för n Ett Bernoulli-försök innehåller punkter, som var och en representerar ett möjligt resultat av det sammansatta experimentet. Eftersom försöken är oberoende är sannolikheten för ett händelseförlopp lika med produkten av sannolikheterna för motsvarande utfall. Till exempel sannolikheten för ett händelseförlopp

(U, U, N, U, N, N, N)

lika med produkten

Exempel på Bernoulli-tester.

1. På varandra följande kast av ett "rättvist" mynt. I detta fall sid = q = 1/2 .

När du kastar ett asymmetriskt mynt kommer motsvarande sannolikheter att ändra sina värden.

2. Varje resultat av experimentet kan betraktas som A eller .

3. Om det finns flera möjliga utfall, kan vi från dem välja en grupp av resultat som anses vara "framgång", vilket kallar alla andra resultat för "misslyckande".

Till exempel med på varandra följande kast tärningar"framgång" kan förstås som att rulla ut en 5:a, och "misslyckande" kan betyda att man rullar ut vilket antal andra poäng som helst. I detta fall sid = 1/6, q = 5/6.

Om vi ​​med "framgång" menar förlusten av ett jämnt antal poäng och med "misslyckande" - ett udda antal poäng, då sid = q = 1/2 .

4. Upprepad slumpmässig extraktion av en boll från en urna innehållande a vit och b svarta bollar. Om vi ​​med framgång menar att hämta den vita bollen, då , .

Feller ger följande exempel på en praktisk tillämpning av Bernoullis testschema. Brickor som tillverkas i massproduktion kan variera i tjocklek, men vid besiktning klassificeras de som tänkbara eller defekta, beroende på om tjockleken ligger inom de föreskrivna gränserna. Även om produkter kanske inte helt överensstämmer med Bernoullis schema av många anledningar, sätter detta schema en idealisk standard för industriell produktkvalitetskontroll, även om denna standard aldrig riktigt uppnås. Maskiner kan förändras, och därför förblir sannolikheterna inte desamma; Det finns en viss konsekvens i driften av maskinerna, vilket gör att långa serier av identiska avvikelser är mer sannolika än vad som skulle vara fallet om testerna verkligen var oberoende. Men ur är det önskvärt att processen överensstämmer med Bernoullis schema, och det viktiga är att detta kan uppnås inom vissa gränser. Syftet med nuvarande övervakning är att i ett tidigt skede upptäcka betydande avvikelser från det ideala schemat och använda dem som indikationer på en hotande kränkning av maskinens korrekta funktion.

Bild 2

Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Om sannolikheten p för att händelse A inträffar i varje försök är konstant, är sannolikheten Pn(k) att händelse A kommer att inträffa k gånger i n oberoende försök lika med: T Uttalande av satsen Bernoullis formel - en formel i sannolikhetsteori som låter dig hitta sannolikheten för att händelse A inträffar under oberoende försök. Bernoullis formel låter dig bli av med ett stort antal beräkningar - addition och multiplikation av sannolikheter - med ett tillräckligt stort antal tester.

Bild 3

Historisk information JACOB BERNOULLI (1654–1705) Födelsedatum: 27 december 1654 Födelseort: Basel Dödsdatum: 16 augusti 1705 Dödsort: Basel Medborgarskap: Schweiz Vetenskapligt område: Matematiker Arbetsplats: University of Basel Scientific . regissör: Leibniz Jacob Bernoulli (tyska Jakob Bernoulli, 27 december 1654, Basel, - 16 augusti 1705, ibid.) - schweizisk matematiker, bror till Johann Bernoulli; professor i matematik vid universitetet i Basel (sedan 1687). Jacob Bernoulli har betydande framgångar inom serieteori, differentialkalkyl av variationer, sannolikhetslära och talteori, där tal med vissa egenskaper är uppkallade efter honom. Jacob Bernoulli skrev också arbeten om fysik, aritmetik, algebra och geometri.

Bild 4

Ett exempel på att använda Bernoullis formel Varje dag stiger aktier i ABC Corporation i pris eller faller i pris med en poäng med sannolikheter på 0,75 respektive 0,25. Hitta sannolikheten att aktien kommer att återgå till sitt ursprungliga pris efter sex dagar. Acceptera villkoret att förändringar i aktiekursen upp och ner är oberoende händelser. LÖSNING: För att aktierna ska återgå till sitt ursprungliga pris inom 6 dagar måste de stiga i kurs 3 gånger och falla i kurs tre gånger under denna tid. Den önskade sannolikheten beräknas med Bernoullis formel P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

Bild 5

Testa dig själv Det finns 20 vita och 10 svarta kulor i en urna. 4 bollar tas ut i rad, och varje borttagen boll återförs till urnan innan nästa tas ut och bollarna i urnan blandas. Vad är sannolikheten att av fyra dragna bollar kommer två att vara vita? SVAR: LÖSNING: SVAR: SVAR: LÖSNING: LÖSNING: Revisorn upptäcker ekonomiska oegentligheter i det granskade företaget med en sannolikhet på 0,9. Hitta sannolikheten att bland 4 företag som bryter mot överträdelser kommer mer än hälften att identifieras. Tärningen kastas 3 gånger. Vad är sannolikheten att 6 poäng kommer att dyka upp exakt 2 gånger i denna serie av tester? 0,01389 8/27 0,9477

Bild 6

Testa dig själv Myntet kastas 6 gånger. Hitta sannolikheten att vapnet inte kommer att dyka upp mer än 2 gånger. SVAR: LÖSNING: SVAR: LÖSNING: Låt grobarheten för vetefrön vara 90 %. Vad är sannolikheten att av 7 sådda frön kommer 5 att gro? 0,124 0,344

Bild 7

Sannolikheten att hämta den vita bollen p=20/30=2/3 kan anses vara densamma i alla försök; 1-p=1/3 Med Bernoullis formel får vi P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8 / 27 TILLBAKA LÖSNING TILL PROBLEMET 1

Bild 8

TILLBAKA LÖSNING TILL PROBLEM 2 Händelsen är att av 4 kränkande företag kommer tre eller fyra att identifieras, d.v.s. P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

https://accounts.google.com

Bildtexter:

Kapitel 9. Element i matematisk statistik, kombinatorik och sannolikhetsteori §54. Slumpmässiga händelser och deras sannolikheter 3. OBEROENDE UPPREPPNINGAR AV TEST. BERNOULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.

Innehåll EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott... Lösning 5a); Lösning 5b); Lösning 5c); Lösning 5d). Observera att... Genom hela serien av upprepningar är det viktigt att veta... Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor... SAT 3 (Bernoullis sats). EXEMPEL 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) ett uttryck för den önskade sannolikheten Pn (k). Lösning 6a); Lösning 6 b); Lösning 6 c); Lösning 6 d). Bernoullis sats tillåter... SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar... För läraren. Källor. 02/08/2014 2

3. OBEROENDE UPPREPADE TEST. BERNOULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET. Del 3. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 3

EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott Låt oss ändra det föregående exemplet något: istället för två olika skyttar kommer samma skytt att skjuta mot målet. Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: a) kommer att träffas tre gånger; b) kommer inte att påverkas; c) kommer att träffas minst en gång; d) kommer att träffas exakt en gång. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 4

Lösning till exempel 5a) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: a) kommer att träffas tre gånger; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 5

Lösning till exempel 5b) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: b) inte kommer att träffas; Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 6

Lösning till exempel 5c) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: c) kommer att träffas minst en gång; Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 7

Lösning till exempel 5d) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: d) kommer att träffas exakt en gång. Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 8

Notera Lösningen som ges i punkt d) i exempel 5, i ett specifikt fall, upprepar beviset för den berömda Bernoulli-satsen, som hänvisar till en av de vanligaste probabilistiska modellerna: oberoende upprepningar av samma test med två möjliga utfall. Särskiljande drag av många probabilistiska problem är att testet, som ett resultat av vilket händelsen av intresse för oss kan inträffa, kan upprepas många gånger. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 9

I hela serien av repetitioner är det viktigt att veta I var och en av dessa repetitioner är vi intresserade av frågan om denna händelse kommer att hända eller inte. Och i hela serien av repetitioner är det viktigt för oss att veta exakt hur många gånger denna händelse kan inträffa eller inte. Till exempel kastas en tärning tio gånger i rad. Vad är sannolikheten att en "fyra" kommer att kastas exakt 3 gånger? 10 skott avlossade; Vad är sannolikheten att det blir exakt 8 träffar på målet? Eller vad är sannolikheten att med fem kast av ett mynt kommer "huvuden" att dyka upp exakt fyra gånger? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 10

Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor. Den schweiziska matematikern Jacob Bernoulli från början av 1700-talet kombinerade exempel och frågor av denna typ till ett enda probabilistiskt schema. Låt sannolikheten slumpmässig händelse Och när man utför något test är det lika med P(A). Låt oss se denna rättegång som en rättegång med endast två möjliga utfall: ett utfall är att händelse A kommer att inträffa, och det andra resultatet är att händelse A inte kommer att inträffa, dvs händelse Ᾱ kommer att inträffa. För korthetens skull, låt oss kalla det första resultatet (förekomsten av händelse A) "framgång", och det andra resultatet (förekomsten av händelsen Ᾱ) "misslyckande". Vi betecknar sannolikheten P(A) för "framgång" med p, och sannolikheten P(Ᾱ) för "misslyckande" med q. Detta betyder q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 11

SAT 3 (Bernoullis sats) Sats 3 (Bernoullis sats). Låt P n (k) vara sannolikheten för att exakt k "framgångar" inträffar i n oberoende upprepningar av samma försök. Då är P n (k)= С n k  p k  q n- k, där p är sannolikheten för "framgång", och q=1 - p är sannolikheten för "misslyckande" i ett visst test. Denna sats (vi presenterar den utan bevis) är av stor betydelse för både teori och praktik. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 12

EXEMPEL 6. Exempel 6. I var och en av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). a) Vad är sannolikheten att få exakt 7 huvuden på 10 myntkast? b) Var och en av 20 personer namnger självständigt en av veckodagarna. Måndag och fredag ​​anses vara "olyckliga" dagar. Vad är sannolikheten att "turen" kommer att vara exakt hälften? c) Att kasta en tärning är "lyckad" om den kommer upp med 5 eller 6 poäng. Vad är sannolikheten att exakt 5 av 25 kast kommer att vara "lyckade"? d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": det finns fler "svansar" än "huvuden". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 13

Lösning 6a) Exempel 6. I var och en av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). a) Vad är sannolikheten att få exakt 7 huvuden på 10 myntkast? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 14

Lösning 6b) Exempel 6. I var och en av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). b) Var och en av 20 personer namnger självständigt en av veckodagarna. Måndag och fredag ​​anses vara "olyckliga" dagar. Vad är sannolikheten att "turen" kommer att vara exakt hälften? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 15

Lösning 6c) Exempel 6. I var och en av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). c) Att kasta en tärning är "lyckad" om den kommer upp med 5 eller 6 poäng. Vad är sannolikheten att exakt 5 av 25 kast kommer att vara "lyckade"? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 16

Lösning 6d) Exempel 6. I var och en av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": det finns fler "svansar" än "huvuden". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast? Lösning: d) n = 7, k = 3. "Tur" i ett kast är att det finns färre "svansar" än "huvuden". Det finns totalt 8 möjliga resultat: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - "svansar", O - "huvuden"). I exakt hälften av dem finns det färre huvuden än huvuden: ROO, ORO, OOP, OOO. Detta betyder p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7 . 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 17

Bernoullis sats tillåter... Bernoullis sats tillåter oss att upprätta ett samband mellan den statistiska metoden för att bestämma sannolikhet och den klassiska definitionen av sannolikheten för en slumpmässig händelse. För att beskriva detta samband, låt oss återgå till villkoren i 50 § om statistisk behandling av uppgifter. Betrakta en sekvens av n oberoende upprepningar av samma försök med två utfall - "framgång" och "misslyckande". Resultaten av dessa tester utgör en serie data som består av en viss sekvens av två alternativ: "framgång" och "misslyckande". Enkelt uttryckt finns det en sekvens med längden n som består av två bokstäver U ("tur") och H ("misslyckande"). Till exempel, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U eller N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. Låt oss beräkna multipliciteten och frekvensen av varianter Y, dvs. hitta bråkdelen k/n, där k är antalet "lyckor" som man stöter på bland alla n repetitioner. Det visar sig att med en obegränsad ökning av n kommer frekvensen k/n för förekomsten av "framgångar" att vara praktiskt taget omöjlig att skilja från sannolikheten p för "framgång" i ett försök. Detta ganska komplexa matematiska faktum härrör just från Bernoullis sats. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 18

SAT 4. Med ett stort antal oberoende repetitioner SAT 4. Med ett stort antal oberoende repetitioner av samma test är frekvensen av förekomsten av en slumpmässig händelse A med ökande noggrannhet ungefär lika med sannolikheten för händelse A: k/n ≈ P(A). Till exempel, med n > 2000, med en sannolikhet större än 99 %, kan det konstateras att det absoluta felet | k/n - P(A)| ungefärlig likhet k/n≈ Р(А) kommer att vara mindre än 0,03. Därför räcker det i sociologiska undersökningar att intervjua cirka 2000 slumpmässigt utvalda personer (respondenter). Om, säg, 520 av dem svarade positivt på den ställda frågan, så är k/n=520/2000=0,26 och det är nästan säkert att för ett större antal respondenter kommer denna frekvens att ligga i intervallet från 0,23 till 0,29. Detta fenomen kallas fenomenet statistisk stabilitet. Så Bernoullis sats och dess följder gör det möjligt (ungefärligt) att hitta sannolikheten för en slumpmässig händelse i fall där dess explicita beräkning är omöjlig. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 19

För läraren 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 20

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 21

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 22

Källor Algebra och början av analys, årskurs 10-11, del 1. Lärobok, 10:e uppl. (Grundnivå), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra och början av analys, årskurs 10-11. (En grundläggande nivå av) Verktygslåda för läraren, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabeller sammanställda i MS Word och MS Excel. Internetresurser Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare 2014-08-02 23

Förhandsvisning:

För att använda presentationsförhandsvisningar, skapa ett konto för dig själv ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Bild 1
Kapitel 9. Element i matematisk statistik, kombinatorik och sannolikhetsteori
§54. Slumpmässiga händelser och deras sannolikheter 3. OBEROENDE UPPREPPNINGAR AV TEST. BERNOULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.

Bild 2
Innehåll
EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott...Lösning 5a);Lösning 5b);Lösning 5c);Lösning 5d).Observera att...I hela serien av repetitioner är det viktigt att veta... Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor...TEOREM 3 (Bernoullis sats ).
EXEMPEL 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). Lösning 6a); Lösning 6b) ;Lösning 6c);Lösning 6d ). Bernoullis teorem tillåter... SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar... För läraren.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 3
3. OBEROENDE REPETERANDE TEST. BERNOULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.
Del 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 4
EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott
Låt oss ändra det föregående exemplet något: istället för två olika skyttar kommer samma skytt att skjuta mot målet Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: a) kommer att träffas tre gånger b) inte kommer att träffas minst en gång;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 5
Lösning till exempel 5a)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: a) kommer att träffas tre gånger;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 6
Lösning till exempel 5b)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: b) inte kommer att träffas.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 7
Lösning till exempel 5c)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: c) kommer att träffas minst en gång.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 8
Lösning till exempel 5d)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: d) kommer att träffas exakt en gång.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 9
Notera
Lösningen som ges i punkt d) i exempel 5, i ett specifikt fall, upprepar beviset för den berömda Bernoulli-satsen, som hänvisar till en av de vanligaste probabilistiska modellerna: oberoende upprepningar av samma test med två möjliga utfall. Ett utmärkande drag för många probabilistiska problem är att testet, som ett resultat av vilket händelsen av intresse för oss kan inträffa, kan upprepas många gånger.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 10
Genom hela serien av repetitioner är det viktigt att veta
I var och en av dessa upprepningar är vi intresserade av frågan om denna händelse kommer att hända eller inte. Och i hela serien av repetitioner är det viktigt för oss att veta exakt hur många gånger denna händelse kan inträffa eller inte. Till exempel kastas en tärning tio gånger i rad. Vad är sannolikheten att en "fyra" kommer att kastas exakt 3 gånger? 10 skott avlossade; Vad är sannolikheten att det blir exakt 8 träffar på målet? Eller vad är sannolikheten att med fem kast av ett mynt kommer "huvuden" att dyka upp exakt fyra gånger?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 11
Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor
Den schweiziska matematikern från det tidiga 1700-talet, Jacob Bernoulli, kombinerade exempel och frågor av denna typ till ett enda probabilistiskt schema. Låt sannolikheten för en slumpmässig händelse A under ett visst test vara lika med P(A). Låt oss se denna rättegång som en rättegång med endast två möjliga utfall: ett utfall är att händelse A kommer att inträffa, och det andra resultatet är att händelse A inte kommer att inträffa, dvs händelse Ᾱ kommer att inträffa. För korthetens skull, låt oss kalla det första resultatet (förekomsten av händelse A) "framgång", och det andra resultatet (förekomsten av händelsen Ᾱ) "misslyckande". Vi betecknar sannolikheten P(A) för "framgång" med p, och sannolikheten P(Ᾱ) för "misslyckande" med q. Detta betyder q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 12
SAT 3 (Bernoullis sats)
Sats 3 (Bernoullis sats). Låt Pn(k) vara sannolikheten för att exakt k "framgångar" inträffar i n oberoende upprepningar av samma försök. Då är Pn(k) = Сnk pk qn-k, där p är sannolikheten för "framgång", och q = 1-p är sannolikheten för "misslyckande" i ett separat test. Detta teorem (vi presenterar det utan bevis ) är av stor betydelse för teori och praktik.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 13
EXEMPEL 6.
Exempel 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k).a) Vad är sannolikheten för exakt 7 "huvuden" på 10 mynt b) Var och en av 20 personer namnger en av veckodagarna? Måndag och fredag ​​anses vara "olyckliga" dagar. Vad är sannolikheten att "framgången" blir exakt hälften c) Att kasta en tärning är "lyckad" om resultatet är 5 eller 6 poäng? Vad är sannolikheten att exakt 5 av 25 kast kommer att bli "lyckade"? d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": det finns fler "svansar" än "huvuden". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 14
Lösning 6a)
Exempel 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k).a) Vad är sannolikheten för exakt 7 "huvuden" på 10 mynt?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 15
Lösning 6b)
Exempel 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) ett uttryck för den önskade sannolikheten Pn(k b) Var och en av 20 personer oberoende av varandra namnger en av veckodagarna. Måndag och fredag ​​anses vara "olyckliga" dagar. Vad är sannolikheten för att "turen" kommer att vara exakt hälften?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 16
Lösning 6c)
Exempel 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k).c) Att kasta en tärning är " framgångsrik” om 5 eller 6 poäng rullas ut . Vad är sannolikheten för att exakt 5 av 25 kast kommer att vara "lyckade"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 17
Lösning 6d)
Exempel 6. Bestäm i var och en av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) ett uttryck för den önskade sannolikheten Pn(k) d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": det finns fler "svansar" än "huvuden". Vad är sannolikheten för att det blir exakt tre ”lyckor” bland 7 kast Lösning: d) n = 7, k = 3. ”Tur” i ett kast är att det finns färre ”svansar” än ”huvuden”. Det finns totalt 8 möjliga resultat: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - "svansar", O - "huvuden"). I exakt hälften av dem finns det färre huvuden än huvuden: ROO, ORO, OOP, OOO. Detta betyder p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙0,53∙0,54 = С73∙0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 18
Bernoullis teorem tillåter...
Bernoullis sats låter oss fastställa ett samband mellan den statistiska metoden för att bestämma sannolikhet och den klassiska definitionen av sannolikheten för en slumpmässig händelse. För att beskriva detta samband, låt oss återgå till villkoren i 50 § om statistisk behandling av uppgifter. Betrakta en sekvens av n oberoende upprepningar av samma försök med två utfall - "framgång" och "misslyckande". Resultaten av dessa tester utgör en serie data som består av en viss sekvens av två alternativ: "framgång" och "misslyckande". Enkelt uttryckt finns det en sekvens med längden n som består av två bokstäver U ("tur") och H ("misslyckande"). Till exempel, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U eller N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. . Låt oss beräkna multipliciteten och frekvensen av variant Y, dvs. hitta bråkdelen k/n, där k är antalet "lyckor" som man stöter på bland alla n repetitioner. Det visar sig att med en obegränsad ökning av n kommer frekvensen k/n för förekomsten av "framgångar" att vara praktiskt taget omöjlig att skilja från sannolikheten p för "framgång" i ett försök. Detta ganska komplexa matematiska faktum härrör just från Bernoullis sats.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 19
SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar
SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar av samma test, är frekvensen av förekomsten av en slumpmässig händelse A med ökande noggrannhet ungefär lika med sannolikheten för händelse A: k/n≈ P(A Till exempel, med). n > 2000 med en sannolikhet större än 99% , kan det hävdas att det absoluta felet |k/n- Р(А)| ungefärlig likhet k/n≈ Р(А) kommer att vara mindre än 0,03. Därför räcker det i sociologiska undersökningar att intervjua cirka 2000 slumpmässigt utvalda personer (respondenter). Om, säg, 520 av dem svarade positivt på den ställda frågan, så är k/n=520/2000=0,26 och det är nästan säkert att för ett större antal respondenter kommer denna frekvens att ligga i intervallet från 0,23 till 0,29. Detta fenomen kallas fenomenet statistisk stabilitet. Så Bernoullis teorem och dess följder gör det möjligt (ungefär) att hitta sannolikheten för en slumpmässig händelse i fall där dess explicita beräkning är omöjlig.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 20
För läraren
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
*

Bild 23
Källor
Algebra och början av analys, årskurs 10-11, del 1. Lärobok, 10:e uppl. (Grundnivå), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra och början av analys, årskurs 10-11. (Grundnivå) Metodhandbok för lärare, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabeller sammanställda i MS Word och MS Excel
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematiklärare
08.02.2014
*

"Element av matematisk statistik" - Konfidensintervall. Vetenskapen. Klassificering av hypoteser. Delar tillverkas på olika maskiner. Verifieringsregler. Korrelationsberoende. Missbruk. En uppsättning kriterievärden. Hitta konfidensintervallet. Beräkning av konfidensintervall för okänd varians. Normal distribution.

"Sannolikhet och matematisk statistik" - Noggrannhet av de erhållna värdena. Kod för kassaskåpet. Beskrivande statistik. Äpple. Låt oss överväga händelserna. Multiplikationsregel. Två skyttar. Jämförelse av träningsprogram. Kola. Exempel på stapeldiagram. Matematikbetyg. Multiplikationsregel för tre. Vita och röda rosor. 9 olika böcker. Vinterlovet.

"Grundläggande av matematisk statistik" - Villkorlig sannolikhet. Tabell över standardiserade värden. Egenskaper för studentdistributionen. Konfidensintervall för matematiska förväntningar. Exempel medelvärde. Distribution. Ett test kan betraktas som en serie av ett test. Kvantil – till vänster ska vara antalet värden som motsvarar kvantilindexet.

"Sannolikhetsteori och statistik" - Intervallgränser. Kritiska områden. Sannolikhetsmultiplikationssats. Fördelning av en normal stokastisk variabel. Härledning av Bernoullis formel. Fördelningslagar för slumpvariabler. Formuleringen av LBC. Innebörden och formuleringen av den centrala gränssatsen. Anslutning av nominella egenskaper. Stokastiskt beroende av två slumpvariabler.

"Statistisk forskning" - Relevans. Statistiska egenskaper och forskning. Planen. Räckvidd är skillnaden mellan de största och minsta värdena i en dataserie. Typer av statistiska observationer. Gillar du att studera matematik? Låt oss titta på en serie siffror. Vem hjälper dig att förstå ett svårt ämne i matematik? Behöver du matematik i ditt framtida yrke?

"Grundläggande statistiska egenskaper" - Grundläggande statistiska egenskaper. Hitta det aritmetiska medelvärdet. Petronius. Omfattning. Modeserie. Det aritmetiska medelvärdet av en serie tal. Radintervall. Median för serien. Statistik. Median. Skolans anteckningsböcker.

Det finns totalt 17 presentationer i ämnet

Bild 1

Bernoullis sats
17.03.2017

Bild 2

En serie av n oberoende tester genomförs. Varje test har 2 resultat: A - "framgång" och - "misslyckande". Sannolikheten för "framgång" i varje försök är densamma och är lika med P(A) = p. Sannolikheten för "misslyckande" ändras inte heller från experiment till experiment och är lika.
Bernoulli-schema
Vad är sannolikheten att det i en serie av n experiment kommer att lyckas k gånger? Hitta Pn(k) .

Bild 3

Myntet kastas n gånger. Ett kort dras från kortleken n gånger, och varje gång kortet återlämnas blandas kortleken. n produkter av en viss produktion, utvalda slumpmässigt, granskas för kvalitet. Skytten skjuter mot målet n gånger.
Exempel

Bild 4

Förklara varför följande frågor passar Bernoullis schema. Ange vad "framgång" är och vad n och k är lika med. a) Vad är sannolikheten att få en "2" tre gånger när man kastar en tärning tio gånger? b) Vad är sannolikheten för att huvuden kommer att dyka upp 73 gånger vid hundra myntkast? c) Ett par tärningar kastades tjugo gånger i rad. Vad är sannolikheten att summan av poängen aldrig är lika med tio? d) Tre kort drogs från en kortlek med 36 kort, resultatet registrerades och återfördes till leken, sedan blandades korten. Detta upprepades 4 gånger. Vad är sannolikheten att varje gång spaderdamen var med bland de kort som drogs?

Bild 5

För antalet kombinationer från n till k är följande formel giltig:
Till exempel:

Bild 6

Bernoullis sats
Sannolikheten Pn(k) för förekomsten av exakt k framgångar i n oberoende upprepningar av samma försök hittas av formeln, där p är sannolikheten för "framgång", q = 1- p är sannolikheten för "misslyckande" i ett separat experiment.

Bild 7

Myntet kastas 6 gånger. Vad är sannolikheten att få vapnet 0, 1, ...6 gånger? Lösning. Antal experiment n=6. Händelse A – ”framgång” – förlust av vapenskölden. Enligt Bernoullis formel är den erforderliga sannolikheten lika med
;
;
;
;
;
;

Bild 8

Myntet kastas 6 gånger. Vad är sannolikheten att få vapnet 0, 1, ...6 gånger? Lösning. Antal experiment n=6. Händelse A – ”framgång” – förlust av vapenskölden.
;
;
;
;
;
;

Bild 9

Myntet kastas 10 gånger. Vad är sannolikheten för att vapnet dyker upp två gånger? Lösning. Antal experiment n=10, m=2. Händelse A – ”framgång” – förlust av vapenskölden. Enligt Bernoullis formel är den erforderliga sannolikheten lika med
;
;
;
;
;
;

Bild 10

Det finns 20 vita och 10 svarta kulor i en urna. 4 bollar tas ut, och varje borttagen boll återförs till urnan innan nästa tas ut och bollarna i urnan blandas. Hitta sannolikheten att av fyra dragna bollar kommer det att finnas 2 vita. Lösning. Event A – en vit boll tas ut. Sedan är sannolikheterna Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med

Bild 11

Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn inte har några flickor. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikhet att få en flicka eller en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med

Bild 12

Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få en flicka. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikhet att få en flicka eller en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med

Bild 13

Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få två flickor. Lösning. Sannolikhet att få en flicka eller en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med

Bild 14

Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få tre flickor. Lösning. Sannolikhet att få en flicka eller en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med

Bild 15

Bestäm sannolikheten att det i en familj med 5 barn inte kommer att finnas fler än tre flickor. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikhet att få en flicka eller en pojke. Den nödvändiga sannolikheten är lika med
.

Bild 16

Bland de delar som bearbetas av en arbetare är i genomsnitt 4 % icke-standardiserade. Hitta sannolikheten att av 30 delar som tas för testning kommer två att vara icke-standardiserade. Lösning. Här består erfarenheten av att kontrollera var och en av de 30 delarna för kvalitet. Händelse A - "utseendet på en icke-standarddel",