Villkorlig sannolikhet. Problem med bollar Inkompatibla händelser och additionsregeln

Vad är sannolikhet?

Första gången jag stötte på den här termen skulle jag inte ha förstått vad det var. Därför ska jag försöka förklara tydligt.

Sannolikhet är chansen att den händelse vi vill ska hända.

Till exempel bestämde du dig för att gå till en väns hus, du kommer ihåg ingången och till och med våningen där han bor. Men jag glömde lägenhetens nummer och läge. Och nu står du på trappan, och framför dig finns det dörrar att välja mellan.

Vad är chansen (sannolikheten) att om du ringer på första dörrklockan så kommer din vän att svara på dörren åt dig? Det finns bara lägenheter, och en vän bor bara bakom en av dem. Med lika stor chans kan vi välja vilken dörr som helst.

Men vad är denna chans?

Dörren, den högra dörren. Sannolikhet att gissa genom att ringa på den första dörren: . Det vill säga en gång av tre kommer du att gissa exakt.

Vi vill veta, efter att ha ringt en gång, hur ofta kommer vi gissa dörren? Låt oss titta på alla alternativ:

1. Du ringde 1:a dörr
2. Du ringde 2:a dörr
3. Du ringde 3:a dörr

Låt oss nu titta på alla alternativ där en vän kan vara:

A. Bakom 1:a dörren
b. Bakom 2:a dörren
V. Bakom 3:a dörren

Låt oss jämföra alla alternativ i tabellform. En bock anger alternativ när ditt val sammanfaller med en väns plats, ett kryss - när det inte sammanfaller.

Hur ser du på allt Kanske alternativ din väns plats och ditt val av vilken dörr du vill ringa.

A gynnsamma resultat av alla . Det vill säga, du kommer att gissa en gång genom att ringa på dörren en gång, d.v.s. .

Detta är sannolikhet - förhållandet mellan ett gynnsamt resultat (när ditt val sammanfaller med din väns plats) och antalet möjliga händelser.

Definitionen är formeln. Sannolikhet betecknas vanligtvis med p, därför:

Det är inte särskilt bekvämt att skriva en sådan formel, så vi tar för - antalet gynnsamma utfall och för - det totala antalet utfall.

Sannolikheten kan skrivas som en procentsats; för att göra detta måste du multiplicera resultatet med:

Ordet "resultat" fångade dig förmodligen. Eftersom matematiker kallar olika handlingar (i vårt fall är en sådan åtgärd en dörrklocka) experiment, brukar resultatet av sådana experiment kallas för resultatet.

Tja, det finns gynnsamma och ogynnsamma resultat.

Låt oss gå tillbaka till vårt exempel. Låt oss säga att vi ringde på en av dörrarna, men en främling öppnade den för oss. Vi gissade inte rätt. Vad är sannolikheten att om vi ringer på en av de återstående dörrarna, kommer vår vän att öppna den för oss?

Om du trodde det är det här ett misstag. Låt oss ta reda på det.

Vi har två dörrar kvar. Så vi har möjliga steg:

1) Ring 1:a dörr
2) Ring 2:a dörr

Vännen, trots allt detta, står definitivt bakom en av dem (han stod trots allt inte bakom den vi kallade):

a) Vän för 1:a dörren
b) Vän för 2:a dörren

Låt oss rita tabellen igen:

Som du kan se finns det bara alternativ, av vilka är gynnsamma. Det vill säga att sannolikheten är lika stor.

Varför inte?

Situationen vi övervägde är exempel på beroende händelser. Den första händelsen är den första dörrklockan, den andra händelsen är den andra dörrklockan.

Och de kallas beroende eftersom de påverkar följande handlingar. När allt kommer omkring, om efter den första ringningen dörrklockan besvarades av en vän, vad skulle sannolikheten vara att han låg bakom en av de andra två? Höger, .

Men om det finns beroende händelser så måste det också finnas oberoende? Det stämmer, de händer.

Ett läroboksexempel är att kasta ett mynt.

1. Kasta ett mynt en gång. Hur stor är sannolikheten att få huvuden till exempel? Det stämmer - eftersom det finns alla alternativ (antingen huvuden eller svansar, vi kommer att försumma sannolikheten för att myntet landar på kanten), men det passar bara oss.
2. Men det kom upp i huvudet. Okej, låt oss kasta det igen. Vad är sannolikheten att få huvuden nu? Ingenting har förändrats, allt är sig likt. Hur många alternativ? Två. Hur många är vi nöjda med? Ett.

Och låt det komma upp huvuden minst tusen gånger i rad. Sannolikheten att få huvuden på en gång kommer att vara densamma. Det finns alltid alternativ, och fördelaktiga.

Det är lätt att skilja beroende händelser från oberoende:

1. Om experimentet utförs en gång (de kastar ett mynt en gång, ringer på dörren en gång, etc.), så är händelserna alltid oberoende.
2. Om ett experiment utförs flera gånger (ett mynt kastas en gång, dörrklockan rings flera gånger), är den första händelsen alltid oberoende. Och sedan, om antalet gynnsamma eller antalet alla utfall ändras, är händelserna beroende, och om inte, är de oberoende.

Låt oss öva på att bestämma sannolikhet lite.

Exempel 1.

Myntet kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få huvuden två gånger i rad?

Lösning:

Låt oss överväga alla möjliga alternativ:

1. Örn-örn
2. Huvud-svansar
3. Svans-huvuden
4. Svansar-svansar

Som du kan se finns det bara alternativ. Av dessa är vi bara nöjda. Det vill säga sannolikheten:

Om villkoret bara ber dig hitta sannolikheten, måste svaret ges i form av ett decimalbråk. Om det var specificerat att svaret skulle anges i procent så skulle vi multiplicera med.

Svar:

Exempel 2.

I en chokladask är all choklad förpackad i samma omslag. Men från godis - med nötter, med konjak, med körsbär, med kola och med nougat.

Vad är sannolikheten att ta en godis och få en godis med nötter? Ge ditt svar i procent.

Lösning:

Hur många möjliga utfall finns det? .

Det vill säga om du tar ett godis så blir det ett av de som finns i kartongen.

Hur många gynnsamma resultat?

Eftersom lådan bara innehåller choklad med nötter.

Svar:

Exempel 3.

I en låda med ballonger. varav vita och svarta.

1. Vad är sannolikheten att dra en vit boll?
2. Vi lade till fler svarta bollar i lådan. Vad är nu sannolikheten att dra en vit boll?

Lösning:

a) Det finns bara bollar i lådan. Av dem är vita.

Sannolikheten är:

b) Nu finns det fler bollar i boxen. Och det finns lika många vita kvar - .

Svar:

Total sannolikhet

Sannolikheten för alla möjliga händelser är lika med ().

Låt oss säga att det finns röda och gröna bollar i en låda. Vad är sannolikheten att dra en röd boll? Grön boll? Röd eller grön boll?

Sannolikhet att dra en röd boll

Grön boll:

Röd eller grön boll:

Som du kan se är summan av alla möjliga händelser lika med (). Att förstå denna punkt hjälper dig att lösa många problem.

Exempel 4.

Det finns markörer i rutan: grön, röd, blå, gul, svart.

Vad är sannolikheten för att INTE rita en röd markör?

Lösning:

Låt oss räkna antalet gynnsamma resultat.

INTE en röd markör, det betyder grön, blå, gul eller svart.

Sannolikhet för alla händelser. Och sannolikheten för händelser som vi anser vara ogynnsamma (när vi tar ut en röd markör) är .

Således är sannolikheten för att dra ut en INTE röd tuschpenna .

Svar:

Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar.

Regel för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser

Du vet redan vad oberoende evenemang är.

Vad händer om du behöver hitta sannolikheten att två (eller flera) oberoende händelser inträffar i rad?

Låt oss säga att vi vill veta vad är sannolikheten att om vi slår ett mynt en gång, kommer vi att se huvuden två gånger?

Vi har redan övervägt - .

Tänk om vi kastar ett mynt en gång? Vad är sannolikheten att se en örn två gånger i rad?

Totalt möjliga alternativ:

1. Örn-örn-örn
2. Huvuden-huvuden-svansar
3. Huvud-svans-huvuden
4. Huvud-svans-svansar
5. Svans-huvuden-huvuden
6. Svans-huvuden-svansar
7. Svans-svans-huvuden
8. Svans-svans-svansar

Jag vet inte om dig, men jag gjorde misstag flera gånger när jag sammanställde den här listan. Wow! Och enda alternativet (det första) passar oss.

För 5 kast kan du själv göra en lista över möjliga utfall. Men matematiker är inte lika hårt arbetande som du.

Därför märkte de först och sedan bevisade att sannolikheten för en viss sekvens oberoende evenemang varje gång det minskar med sannolikheten för en händelse.

Med andra ord,

Låt oss titta på exemplet med samma olyckliga mynt.

Sannolikhet att få huvuden i en utmaning? . Nu slår vi myntet en gång.

Vad är sannolikheten att få huvuden i rad?

Den här regeln fungerar inte bara om vi ombeds hitta sannolikheten för att samma händelse inträffar flera gånger i rad.

Om vi ​​ville hitta sekvensen TAILS-HEADS-TAILS för på varandra följande kast, skulle vi göra detsamma.

Sannolikheten att få svansar är , huvuden - .

Sannolikhet att få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Du kan kontrollera det själv genom att göra en tabell.

Regeln för att lägga till sannolikheterna för inkompatibla händelser.

Så sluta! Ny definition.

Låt oss ta reda på det. Låt oss ta vårt slitna mynt och kasta det en gång.
Möjliga alternativ:

1. Örn-örn-örn
2. Huvuden-huvuden-svansar
3. Huvud-svans-huvuden
4. Huvud-svans-svansar
5. Svans-huvuden-huvuden
6. Svans-huvuden-svansar
7. Svans-svans-huvuden
8. Svans-svans-svansar

Så inkompatibla händelser är ett visst, givet händelseförlopp. - Detta är oförenliga händelser.

Om vi ​​vill bestämma vad sannolikheten för två (eller flera) inkompatibla händelser är, så lägger vi till sannolikheterna för dessa händelser.

Du måste förstå att huvuden eller svansarna är två oberoende händelser.

Om vi ​​vill bestämma sannolikheten för att en sekvens (eller någon annan) ska inträffa, använder vi regeln om att multiplicera sannolikheter.
Vad är sannolikheten att få huvuden vid första kast och svans vid andra och tredje kast?

Men om vi vill veta vad är sannolikheten att få en av flera sekvenser, till exempel när huvuden kommer upp exakt en gång, d.v.s. alternativ och sedan måste vi lägga ihop sannolikheterna för dessa sekvenser.

Totala alternativ passar oss.

Vi kan få samma sak genom att lägga ihop sannolikheterna för att varje sekvens inträffar:

Sålunda lägger vi till sannolikheter när vi vill bestämma sannolikheten för vissa, inkonsekventa händelseförlopp.

Det finns en bra regel som hjälper dig att undvika att bli förvirrad när du ska multiplicera och när du ska lägga till:

Låt oss gå tillbaka till exemplet där vi kastade ett mynt en gång och ville veta sannolikheten att se huvuden en gång.
Vad kommer att hända?

Borde falla ut:
(huvuden OCH svansar OCH svansar) ELLER (svansar OCH huvuden OCH svansar) ELLER (svansar OCH svansar OCH huvuden).
Så här blir det:

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 5.

Det finns pennor i lådan. röd, grön, orange och gul och svart. Vad är sannolikheten att rita röda eller gröna pennor?

Lösning:

Vad kommer att hända? Vi måste dra (röd ELLER grön).

Nu är det klart, låt oss lägga ihop sannolikheterna för dessa händelser:

Svar:

Exempel 6.

Om en tärning kastas två gånger, vad är sannolikheten att få totalt 8?

Lösning.

Hur kan vi få poäng?

(och) eller (och) eller (och) eller (och) eller (och).

Sannolikheten att få ett (valfritt) ansikte är .

Vi beräknar sannolikheten:

Svar:

Träning.

Jag tror att du nu förstår när du behöver beräkna sannolikheter, när du ska addera dem och när du ska multiplicera dem. Är det inte? Låt oss öva lite.

Uppgifter:

Låt oss ta kortlek, där korten inkluderar spader, hjärter, 13 klöver och 13 ruter. Från till ess i varje färg.

1. Vad är sannolikheten för att dra klubbor i rad (vi lägger det första kortet utdraget tillbaka i leken och blandar det)?
2. Vad är sannolikheten att dra ett svart kort (spader eller klöver)?
3. Vad är sannolikheten att rita en bild (knekt, dam, kung eller ess)?
4. Vad är sannolikheten att dra två bilder i rad (vi tar bort det första kortet som dras från leken)?
5. Hur stor är sannolikheten om du tar två kort för att få en kombination - (knekt, dam eller kung) och ett ess? I vilken ordning korten dras spelar ingen roll.

Svar:

1. I en kortlek av varje värde betyder det:
2. Händelser är beroende, eftersom antalet kort i kortleken minskade efter att det första kortet drogs ut (liksom antalet "bilder"). Det finns totala knektar, damer, kungar och ess i kortleken initialt, vilket innebär sannolikheten att dra en "bild" med det första kortet:

   Eftersom vi tar bort det första kortet från leken betyder det att det redan finns kort kvar i leken, inklusive bilder. Sannolikhet att rita en bild med det andra kortet:

   Eftersom vi är intresserade av situationen när vi tar ut en "bild" OCH en "bild" från kortleken, måste vi multiplicera sannolikheterna:

   Svar:

3. Efter att det första kortet har dragits ut kommer antalet kort i kortleken att minska, så två alternativ passar oss:
   1) Det första kortet är ess, det andra är knekt, dam eller kung
   2) Vi tar ut en knekt, dam eller kung med det första kortet och ett ess med det andra. (ess och (knekt eller dam eller kung)) eller ((knekt eller dam eller kung) och ess). Glöm inte att minska antalet kort i leken!

Om du kunde lösa alla problem själv, då är du jättebra! Nu kommer du att knäcka sannolikhetsteoretiska problem i Unified State Exam som nötter!

SANNOLIKHETSTEORI. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Låt oss titta på ett exempel. Låt oss säga att vi kastar en tärning. Vad är det här för ben, vet du? Detta är vad de kallar en kub med siffror på dess ytor. Hur många ansikten, så många siffror: från till hur många? Innan.

Så vi slår tärningen och vi vill att den ska komma upp eller. Och vi förstår det.

I sannolikhetsteorin säger de vad som hände gynnsam händelse(inte att förväxla med välmående).

Om det hände skulle även händelsen vara gynnsam. Totalt kan bara två gynnsamma händelser inträffa.

Hur många är ogynnsamma? Eftersom det finns totalt möjliga händelser betyder det att de ogynnsamma är händelser (detta är om eller faller ut).

Definition:

Sannolikhet är förhållandet mellan antalet gynnsamma händelser och antalet av alla möjliga händelser. Det vill säga sannolikheten visar hur stor andel av alla möjliga händelser som är gynnsamma.

Sannolikhet betecknas med en latinsk bokstav (uppenbarligen från engelskt ord sannolikhet - sannolikhet).

Det är vanligt att mäta sannolikhet i procent (se ämnen och). För att göra detta måste sannolikhetsvärdet multipliceras med. I exemplet med tärningar sannolikhet.

Och i procent: .

Exempel (bestäm själv):

1. Vad är sannolikheten att få huvuden när du kastar ett mynt? Vad är sannolikheten att landa huvuden?
2. Vad är sannolikheten att få ett jämnt tal när man kastar en tärning? Vilken är udda?
3. I en låda med enkla, blå och röda pennor. Vi ritar en penna slumpmässigt. Vad är sannolikheten att få en enkel?

Lösningar:

1. Hur många alternativ finns det? Huvud och svans - bara två. Hur många av dem är gynnsamma? Endast en är en örn. Sannolikheten alltså

   Det är samma sak med svansar: .

2. Totalt antal alternativ: (hur många sidor kuben har, så många olika alternativ). Gynnsamma: (detta är alla jämna tal:).
   Sannolikhet. Naturligtvis är det samma sak med udda siffror.
3. Totalt: . Gynnsamt: . Sannolikhet: .

Total sannolikhet

Alla pennor i lådan är gröna. Vad är sannolikheten att rita en röd penna? Det finns inga chanser: sannolikhet (trots allt gynnsamma händelser -).

En sådan händelse kallas omöjlig.

Vad är sannolikheten att rita en grön penna? Det finns exakt samma antal gynnsamma evenemang som det finns totalt evenemang (alla evenemang är gynnsamma). Så sannolikheten är lika med eller.

En sådan händelse kallas pålitlig.

Om en ruta innehåller gröna och röda pennor, vad är sannolikheten för att rita grönt eller rött? Återigen. Låt oss notera detta: sannolikheten för att dra ut grönt är lika och rött är lika.

Sammanfattningsvis är dessa sannolikheter exakt lika. Det är, summan av sannolikheterna för alla möjliga händelser är lika med eller.

Exempel:

I en låda med pennor, bland dem är blå, röd, grön, vanlig, gul och resten är orange. Vad är sannolikheten att inte dra grönt?

Lösning:

Vi kommer ihåg att alla sannolikheter går ihop. Och sannolikheten att bli grön är lika stor. Det betyder att sannolikheten för att inte dra grönt är lika stor.

Kom ihåg detta trick: Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar.

Oberoende händelser och multiplikationsregeln

Du slår ett mynt en gång och vill att det ska komma upp båda gångerna. Vad är sannolikheten för detta?

Låt oss gå igenom alla möjliga alternativ och bestämma hur många det finns:

Huvud-huvud, svans-huvud, huvud-svans, svans-svans. Vad annars?

Totalt antal alternativ. Av dessa är det bara en som passar oss: Eagle-Eagle. Totalt är sannolikheten lika stor.

Bra. Låt oss nu slå ett mynt en gång. Gör matten själv. Hände? (svar).

Du kanske har märkt att med tillägg av varje efterföljande kast, minskar sannolikheten med hälften. Allmän regel kallad multiplikationsregeln:

Sannolikheterna för oberoende händelser förändras.

Vad är oberoende händelser? Allt är logiskt: det här är de som inte är beroende av varandra. Till exempel när vi kastar ett mynt flera gånger, varje gång ett nytt kast görs, vars resultat inte beror på alla tidigare kast. Vi kan lika gärna kasta två olika mynt samtidigt.

Fler exempel:

1. Tärningarna kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få det båda gångerna?
2. Myntet kastas en gång. Vad är sannolikheten att den kommer upp med huvuden första gången och sedan svansar två gånger?
3. Spelaren kastar två tärningar. Vad är sannolikheten att summan av talen på dem blir lika?

Svar:

1. Händelserna är oberoende, vilket innebär att multiplikationsregeln fungerar: .
2. Sannolikheten för huvuden är lika stor. Sannolikheten för svansar är densamma. Multiplicera:
3. 12 kan endast erhållas om två -ki rullas: .

Inkompatibla händelser och tilläggsregeln

Händelser som kompletterar varandra kallas inkompatibla. full sannolikhet. Som namnet antyder kan de inte ske samtidigt. Till exempel, om vi vänder ett mynt, kan det komma upp antingen huvuden eller svansar.

Exempel.

I en låda med pennor, bland dem är blå, röd, grön, vanlig, gul och resten är orange. Vad är sannolikheten att rita grönt eller rött?

Lösning .

Sannolikheten för att rita en grön penna är lika stor. Röd - .

Fördelaktiga händelser totalt: grönt + rött. Det betyder att sannolikheten för att rita grönt eller rött är lika.

Samma sannolikhet kan representeras i denna form: .

Detta är tilläggsregeln: sannolikheterna för oförenliga händelser går ihop.

Problem av blandad typ

Exempel.

Myntet kastas två gånger. Vad är sannolikheten att resultatet av rullningarna blir annorlunda?

Lösning .

Det betyder att om det första resultatet är huvuden måste det andra vara svansar och vice versa. Det visar sig att det finns två par oberoende händelser, och dessa par är inkompatibla med varandra. Hur man inte blir förvirrad över var man ska multiplicera och var man ska addera.

Det finns en enkel regel för sådana situationer. Försök att beskriva vad som kommer att hända med hjälp av konjunktionerna "OCH" eller "ELLER". Till exempel, i det här fallet:

Det ska komma upp (huvuden och svansar) eller (svansar och huvuden).

Där det finns en konjunktion "och" kommer det att finnas multiplikation, och där det finns "eller" kommer det att finnas addition:

Prova själv:

1. Vad är sannolikheten att om ett mynt kastas två gånger, kommer myntet att landa på samma sida båda gångerna?
2. Tärningarna kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få totalt poäng?

Lösningar:

1. (Huvuden föll och svansar föll) eller (svansar föll och svansar föll): .
2. Vad är alternativen? Och. Sedan:
   Släppt (och) eller (och) eller (och): .

Ett annat exempel:

Kasta ett mynt en gång. Hur stor är sannolikheten att huvuden dyker upp minst en gång?

Lösning:

Åh, vad jag inte vill gå igenom alternativen... Heads-tails-tails, Eagle-heads-tails,... Men det finns inget behov! Låt oss komma ihåg om total sannolikhet. Kommer du ihåg? Vad är sannolikheten att örnen kommer aldrig att falla ut? Det är enkelt: huvuden flyger hela tiden, det är därför.

SANNOLIKHETSTEORI. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Sannolikhet är förhållandet mellan antalet gynnsamma händelser och antalet av alla möjliga händelser.

Oberoende evenemang

Två händelser är oberoende om förekomsten av den ena inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar.

Total sannolikhet

Sannolikheten för alla möjliga händelser är lika med ().

Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar.

Regel för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser

Sannolikheten för en viss sekvens av oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för varje händelse

Inkompatibla händelser

Inkompatibla händelser är sådana som omöjligt kan inträffa samtidigt som ett resultat av ett experiment. Ett antal inkompatibla händelser bildar en komplett grupp av händelser.

Sannolikheterna för oförenliga händelser går ihop.

Efter att ha beskrivit vad som skulle hända, med hjälp av konjunktionerna "OCH" eller "ELLER", istället för "OCH" sätter vi ett multiplikationstecken, och istället för "ELLER" sätter vi ett additionstecken.

DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!

Bli en YouClever-student,

Förbered dig för Unified State Exam eller Unified State Exam i matematik till priset av "en kopp kaffe per månad",

Och få även obegränsad tillgång till "YouClever"-läroboken, "100gia"-förberedelseprogrammet (arbetsbok), obegränsad provversion av Unified State Examination och Unified State Examination, 6000 problem med analys av lösningar och andra YouClever- och 100gia-tjänster.

Om du har spelat poker länge har du kanske märkt att det ibland finns händer vid borden som verkar långt ifrån verkligheten och som inte lämpar sig för matematiska lagar. I detta material kommer vi att berätta om pokersannolikheter av olika slag.

Sannolikhetsteori spelar en stor roll i poker. Poker är ett spel som bygger på chanser, sannolikheter och... Att ignorera och inte veta pokermatematik kommer i slutändan att leda alla olyckliga spelare till ekonomisk ruin. Tur kan spela en viktig roll på kort sikt, men ju längre du spelar, desto viktigare blir sannolikheterna för poker.

I de flesta fall kan du bestämma dina odds med hjälp av grundläggande aritmetik, såväl som speciella och . Förståelse poker odds kommer att tillåta dig att vinna oftare än spelare som blint hoppas på tur.

Sannolikheter före floppen

Spelare spelar inte poker "i ett vakuum"; varje spelare måste bygga på sin motståndares räckvidd och beräkna sina chanser att vinna exklusivt mot en specifik motståndare. I tabellen nedan ger vi dig sannolikheterna att vinna mot olika handintervall.

Sannolikheter för vissa situationer före floppen

Sannolikheter efter floppen

Låt oss nu titta på sannolikheten för olika händelser när du spelar olika .

Nybörjare överskattar ofta värdet starthänder, Till exempel, . Som du kan se träffar färgkort inte färgningar tillräckligt ofta. Dessutom träffar pocketpar bara ett set 12% av tiden, så att spela små fickkort är inte alltid lönsamt.

Sannolikheter för pokerhand

I denna del av materialet kommer vi att berätta om de matematiska sannolikheterna för att komponera olika.

Som du kan se är royal flush den sällsynta och starkaste pokerhand. Sannolikheten att få en royal flush i poker är 1 på 649 740. Chansen att fånga denna kombination på floppen med pocket Broadway-kort är 0,0008%. Om det finns en potentiell royal flush på brädet, är sannolikheten att den kommer att träffa på turn 2% och före river - 4%.

Svalare sannolikheter

En cooler är en situation vid pokerbordet när en spelare förlorar en hand inte på grund av sina egna misstag, utan på grund av en olycklig kombination av omständigheter och en starkare hand hos sin motståndare. Detta är en klassisk som professionella pokerspelare använder i sitt ordförråd.

Kungar till Ess

Med ess har du inget att frukta innan floppen, men om du har pocketkungar kan du alltid vara försiktig med dina motståndares ess. Men kommer sådana kylare att hända tillräckligt ofta? Om du spelar heads-up kommer din motståndare bara att få pocket-ess en gång av 220 händer. Men vid ett fullringbord mot 8 motståndare är chansen att någon får ess mot dina pocketkungar mycket högre. Sannolikheten för denna händelse är 1 på 25.

Drottningar till kungar (ess)

Drottningar är en mycket mer sårbar hand än kungar. Oftare än inte kommer du att ligga före med dem före floppen, men bortse från möjligheten att en av dina motståndare fick kungar eller ess. Vid ett fullt bord är sannolikheten att detta händer 1 på 12. En höjning, re-raise och all-in framför dig indikerar att en av dina motståndare har fått ett monster och att du bör lägga dina damer.

Viktiga sannolikheter för par med höga fickor

Sannolikhet att hamna i set

Låt oss nu prata om svalare situationer efter floppen. Som du redan vet är sannolikheten att floppa ett set med ett pocketpar 12% eller 1 på 8. Men den händelse som många pokerspelare fruktar är att floppa ett set mot ett starkare set. Om två spelare har ett pocketpar, kommer situationen där båda spelarna slår ett set på floppen att inträffa en gång var hundra floppar.

Sannolikhet att få fyra lika i fyra lika

Låt oss gå vidare från uppsättningen till en ännu starkare kombination. Oddsen för att träffa fyra lika när du har ett hålkort och ett set på floppen är 1 på 123.

Om sannolikheten att få ett set i ett set inte är för hög, så är sannolikheten för en situation där två spelare får fyra lika i en hand 1 på 39 000 i heads-up och 1 på 313 000 händer vid ett fullt bord. För de flesta pokerspelare kommer denna händelse bara att inträffa en gång under hela deras karriär.

En gedigen kunskap om pokerodds och sannolikheter hjälper dig att anpassa din taktik till din fördel under spelet, och bara att förstå de matematiska principerna kommer att ge dig den känslomässiga stabiliteten för att spela ditt bästa spel.

Sannolikheten att den nödvändiga delen inte finns i någon låda är lika med:

Den erforderliga sannolikheten är lika med

Formel för total sannolikhet.

Antag att någon händelse A kan inträffa tillsammans med en av de inkompatibla händelser som utgör hela gruppen av händelser. Låt sannolikheterna för dessa händelser och de villkorade sannolikheterna för att händelse A inträffar vara kända när händelsen inträffar Hej .

Sats. Sannolikheten för händelse A, som kan inträffa tillsammans med en av händelserna, är lika med summan av de parade produkterna av sannolikheterna för var och en av dessa händelser med motsvarande betingade sannolikheter för att händelse A inträffar.

I själva verket denna formel full sannolikhet har redan använts för att lösa exemplen ovan, till exempel i problemet med en revolver.

Bevis.

Därför att händelser bildar en komplett grupp av händelser, sedan kan händelse A representeras som följande summa:

Därför att händelser är oförenliga, då händelser AH iär också oförenliga. Sedan kan vi tillämpa satsen på att addera sannolikheterna för inkompatibla händelser:

Vart i

Äntligen får vi:

Teoremet har bevisats.

Exempel. En av de tre skyttarna avlossar två skott. Sannolikheten att träffa målet med ett skott för den första skytten är 0,4, för den andra – 0,6, för den tredje – 0,8. Hitta sannolikheten att målet kommer att träffas två gånger.

Sannolikheten att skotten avlossas av den första, andra eller tredje skytten är lika med .

Sannolikheten för att en av skyttarna som skjuter träffar målet två gånger är lika med:

För den första skytten:

För den andra skytten:

För den tredje skytten:

Den nödvändiga sannolikheten är:

FÖRELÄSNING 2.

Bayes formel. (hypotesformel)

Låt det finnas en komplett grupp av inkonsekventa hypoteser med kända sannolikheter för deras förekomst. Låt händelse A inträffa som ett resultat av experimentet, vars villkorliga sannolikheter för var och en av hypoteserna är kända, d.v.s. sannolikheterna är kända.

Det krävs att fastställa vilka sannolikheter hypoteserna har angående händelse A, d.v.s. betingade sannolikheter.

Sats. Sannolikheten för en hypotes efter testet är lika med produkten av sannolikheten för hypotesen före testet och motsvarande villkorade sannolikhet för den händelse som inträffade under testet, dividerat med den totala sannolikheten för denna händelse.

Denna formel kallas Bayes formel.

Bevis.

Med hjälp av sfår vi:

Sedan om.

För att hitta sannolikheten P(A) använder vi formeln för total sannolikhet.

Om före testet alla hypoteser är lika sannolika med sannolikhet, så tar Bayes formel formen:

Upprepning av tester.

Bernoullis formel.

Om ett visst antal tester utförs, som ett resultat av vilken händelse A kan inträffa eller inte, och sannolikheten för att denna händelse inträffar i vart och ett av testerna inte beror på resultaten från andra tester, är sådana tester kallad oberoende med avseende på händelse A.

Låt oss anta att händelse A inträffar i varje försök med sannolikhet P(A)=p. Låt oss bestämma sannolikheten Rt, sid det som ett resultat P testhändelse A inträffade exakt T en gång.

Denna sannolikhet kan i princip beräknas med hjälp av satserna för addition och multiplikation av sannolikheter, vilket gjordes i exemplen som diskuterats ovan. Men med ett tillräckligt stort antal tester leder detta till mycket stora beräkningar. Det finns därför ett behov av att utveckla ett generellt tillvägagångssätt för att lösa problemet. Detta tillvägagångssätt implementeras i Bernoullis formel. (Jacob Bernoulli (1654 – 1705) – schweizisk matematiker)

Låt som ett resultat P oberoende tester utförda under identiska förhållanden, händelse A inträffar med sannolikhet P(A) = p, och den motsatta händelsen med sannolikhet.

Låt oss beteckna A i– förekomst av händelse A i försöksnummer i. Därför att de experimentella förhållandena är desamma, då är dessa sannolikheter lika.

Om som ett resultat P experiment inträffar händelse A exakt T en gång, sedan resten p-t eftersom denna händelse inte inträffar. Händelse A kan inträffa T en gång varje P tester i olika kombinationer, vars antal är lika med antalet kombinationer av P element av T. Detta antal kombinationer hittas av formeln:

Sannolikheten för varje kombination är lika med produkten av sannolikheterna:

Genom att tillämpa satsen för att addera sannolikheterna för oförenliga händelser får vi Bernoullis formel:

Bernoullis formel är viktig eftersom den är giltig för hur många oberoende test som helst, d.v.s. just det fall där sannolikhetsteorins lagar är tydligast manifesterade.

Exempel. 5 skott avlossas mot målet. Träffsannolikheten för varje skott är 0,4. Hitta sannolikheten att målet träffades minst tre gånger.

Sannolikheten för minst tre träffar är summan av sannolikheten för fem träffar, fyra träffar och tre träffar.

Därför att skott är oberoende, då kan vi tillämpa Bernoullis formel för sannolikheten att in T prövningar händelse i sannolikhet R kommer exakt P en gång.

Vid fem träffar av fem möjliga:

Fyra träffar av fem skott:

Tre träffar av fem:

Slutligen får vi sannolikheten för minst tre träffar av fem skott:

Slumpmässiga variabler.

Ovan ansåg vi slumpmässiga händelser som är en kvalitativ egenskap hos ett slumpmässigt resultat av ett experiment. För att erhålla en kvantitativ egenskap introduceras begreppet en slumpvariabel.

Definition. Slumpvariabelär en storhet som till följd av experiment kan anta ett eller annat värde, och som är känt i förväg.

Slumpvariabler kan delas in i två kategorier.

Definition. Diskret slumpvariabelär en storhet som, som ett resultat av erfarenhet, kan anta vissa värden med en viss sannolikhet och bilda en räknebar mängd (en mängd vars element kan numreras).

Denna uppsättning kan vara antingen finit eller oändlig.

Till exempel är antalet skott före den första träffen på målet en diskret slumpmässig variabel, eftersom denna kvantitet kan anta ett oändligt, om än räknebart, antal värden.

Definition. Kontinuerlig slumpvariabelär en storhet som kan ta vilket värde som helst från något ändligt eller oändligt intervall.

Uppenbarligen är antalet möjliga värden för en kontinuerlig slumpvariabel oändlig.

För att ange en slumpvariabel räcker det inte att bara ange dess värde, du måste också ange sannolikheten för detta värde.

Fördelningslag för en diskret stokastisk variabel.

Definition. Förhållandet mellan möjliga värden för en slumpvariabel och deras sannolikheter kallas diskret distributionslag slumpvariabel.

Fördelningslagen kan specificeras analytiskt, i form av en tabell eller grafiskt.

Överensstämmelsetabellen mellan värdena för en slumpvariabel och deras sannolikheter kallas nära distribution.

Den grafiska representationen av denna tabell kallas fördelningspolygon. I det här fallet representerar summan av alla ordinater för fördelningspolygonen sannolikheten för alla möjliga värden för den slumpmässiga variabeln, och är därför lika med en.

Exempel. 5 skott avlossas mot målet. Träffsannolikheten för varje skott är 0,4. Hitta sannolikheten för antalet träffar och konstruera en fördelningspolygon.

Sannolikheterna för fem träffar av fem möjliga, fyra av fem och tre av fem hittades ovan med användning av Bernoulli-formeln och är lika, respektive:

På samma sätt finner vi:

Låt oss grafiskt representera antalet träffars beroende av deras sannolikheter.

När man konstruerar en fördelningspolygon måste man komma ihåg att anslutningen av de resulterande punkterna är villkorad. I intervallen mellan värdena för en slumpvariabel får sannolikheten ingen betydelse. Prickarna är endast kopplade för tydlighetens skull.

Exempel. Sannolikheten för minst en träff av en skytt med tre skott är 0,875. Hitta sannolikheten att träffa målet med ett skott.

Om vi ​​utser R– sannolikheten för att en skytt träffar målet med ett skott, då är sannolikheten att missa med ett skott uppenbarligen lika med (1 – R).

Sannolikheten för tre missar av tre skott är (1 – R) 3 . Denna sannolikhet är lika med 1 – 0,875 = 0,125, d.v.s. De träffar inte målet ens en gång.

Vi får:

Exempel. Den första asken innehåller 10 bollar, varav 8 är vita; Den andra lådan innehåller 20 bollar, varav 4 är vita. En boll dras slumpmässigt från varje ruta, och sedan dras en boll slumpmässigt från dessa två bollar. Hitta sannolikheten att denna boll är vit.

Sannolikheten att bollen från den första rutan är vit är att den inte är vit.

Sannolikheten att bollen från den andra rutan är vit - att den inte är vit -

Sannolikheten att en boll som dragits från den första rutan väljs om och sannolikheten att en boll som dragits från den andra rutan väljs om är 0,5.

Sannolikheten att en boll som dras från den första rutan väljs om och den är vit är

Sannolikheten att bollen som dras från den andra rutan väljs om och den är vit är

Sannolikheten att en vit boll kommer att väljas igen är

Exempel. Det finns fem gevär, varav tre är utrustade med kikarsikte. Sannolikheten att en skytt träffar målet när han skjuter från ett gevär med ett optiskt sikte är 0,95, för ett gevär utan ett optiskt sikte är denna sannolikhet 0,7. Hitta sannolikheten för att målet kommer att träffas om skytten skjuter ett skott från ett slumpmässigt valt gevär.

Vi betecknar sannolikheten att ett gevär med ett optiskt sikte väljs, och sannolikheten att ett gevär utan ett optiskt sikte väljs betecknas med .

Sannolikheten att ett gevär med ett optiskt sikte valdes, och målet träffades, var R(PC/O) – sannolikheten att träffa ett mål med ett gevär med ett optiskt sikte.

På liknande sätt är sannolikheten att ett gevär utan optiskt sikte valts och målet träffades , där R(PC/BO) – sannolikheten att träffa ett mål med ett gevär utan ett optiskt sikte.

Den slutliga sannolikheten att träffa målet är lika med summan av sannolikheterna P 1 Och R 2, därför att För att träffa målet räcker det att en av dessa oförenliga händelser inträffar.

Exempel. Tre jägare sköt samtidigt mot björnen som dödades av en kula. Bestäm sannolikheten att björnen dödades av den första skytten om träffsannolikheterna för dessa skyttar är 0,3, 0,4 respektive 0,5.

I det här problemet måste du bestämma sannolikheten för en hypotes efter att händelsen redan har inträffat. För att bestämma önskad sannolikhet måste du använda Bayes formel. I vårt fall ser det ut så här:

I denna formel N1, N2, N3– hypoteser om att björnen kommer att dödas av den första, andra och tredje skytten. Innan skotten avlossas är dessa hypoteser lika sannolika och deras sannolikhet är lika.

P(H 1 /A)– sannolikheten att björnen dödades av den första skytten, förutsatt att skotten redan har avlossats (händelse A).

Sannolikheterna för att björnen kommer att dödas av den första, andra eller tredje skytten, beräknade innan skotten avlossas, är lika:

Här q 1= 0,7; q 2 = 0,6; q 3= 0,5 – misssannolikheter för varje skytt, beräknat som q = 1 – sid, Var R– träffsannolikhet för varje skytt.

Låt oss ersätta dessa värden i Bayes formel:

Exempel. Fyra radiosignaler sänds sekventiellt. Sannolikheterna att ta emot var och en av dem beror inte på om de andra signalerna tas emot eller inte. Sannolikheten för att ta emot signaler är 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 respektive. Bestäm sannolikheten för att ta emot tre radiosignaler.

Händelsen med att ta emot tre signaler av fyra är möjlig i fyra fall:

För att ta emot tre signaler måste en av händelserna A, B, C eller D inträffa. Således finner vi den nödvändiga sannolikheten:

Exempel. Tjugo tentamensuppgifter innehåller två frågor som inte upprepas. Examinanden vet bara svaren på 35 frågor. Bestäm sannolikheten för att tentamen kommer att bli godkänd om det räcker att svara på två frågor på en biljett eller en fråga på en biljett och den angivna tilläggsfrågan på en annan biljett.

Det finns totalt 40 frågor (2 i var och en av de 20 biljetterna). Sannolikheten att en fråga kommer upp som svaret är känt är uppenbarligen lika med .

För att klara provet måste en av tre händelser inträffa:

1) Händelse A - svarade på den första frågan (sannolikhet) och svarade på den andra frågan (sannolikhet). Därför att Efter att ha besvarat den första frågan är det fortfarande 39 frågor kvar, varav 34 svaren är kända.

2) Händelse B - den första frågan besvarades (sannolikhet), den andra - nej (sannolikhet), den tredje - besvarades (sannolikhet).

3) Händelse C - den första frågan besvarades inte (sannolikhet), den andra besvarades (sannolikhet), den tredje besvarades (sannolikhet).

Sannolikheten för att provet under givna förutsättningar kommer att bli godkänt är:

Exempel. Det finns två partier av liknande delar. Den första satsen består av 12 delar, varav 3 är defekta. Den andra satsen består av 15 delar, varav 4 är defekta. Två delar tas bort från den första och andra satsen. Vad är sannolikheten att det inte finns några defekta delar bland dem.

Sannolikheten att inte vara defekt för den första delen som togs bort från den första satsen är lika med , för den andra delen borttagen från den första satsen, förutsatt att den första delen inte var defekt - .

Sannolikheten att inte vara defekt för den första delen som togs bort från den andra satsen är lika med , för den andra delen borttagen från den andra satsen, förutsatt att den första delen inte var defekt - .

Sannolikheten att det inte finns några defekta delar bland de fyra extraherade delarna är lika med:

Låt oss titta på samma exempel, men med ett lite annorlunda tillstånd.

Exempel. Det finns två partier av liknande delar. Den första satsen består av 12 delar, varav 3 är defekta. Den andra satsen består av 15 delar, varav 4 är defekta. 5 delar väljs ut slumpmässigt från den första satsen och 7 delar från den andra satsen. Dessa delar bildar en ny batch. Vad är sannolikheten att få en defekt del från dem?

För att en slumpmässigt utvald del ska vara defekt måste ett av två inkompatibla villkor vara uppfyllt:

1) Den valda delen var från den första batchen (sannolikhet - ) och samtidigt var den defekt (sannolikhet - ). Till sist:

2) Den valda delen var från den andra batchen (sannolikhet - ) och samtidigt var den defekt (sannolikhet - ). Till sist:

Till sist får vi: .

Exempel. Det finns 3 vita och 5 svarta kulor i urnan. Två kulor dras slumpmässigt från urnan. Hitta sannolikheten att dessa bollar inte har samma färg.

Händelsen att de valda bollarna av olika färger kommer att inträffa i ett av två fall:

1) Den första bollen är vit (sannolikhet - ), och den andra är svart (sannolikhet - ).

2) Den första bollen är svart (sannolikhet - ), och den andra är vit (sannolikhet - ).

Äntligen får vi:

Binomial distribution.

Om det produceras P oberoende försök, i vilka händelse A kan inträffa med samma sannolikhet R i var och en av försöken är sannolikheten att händelsen inte kommer att dyka upp lika med q = 1 – sid.

Låt oss ta antalet förekomster av en händelse i varje test som en viss slumpvariabel X.

För att hitta distributionslagen för denna slumpmässiga variabel är det nödvändigt att bestämma värdena för denna variabel och deras sannolikheter.

Värdena är ganska lätta att hitta. Uppenbarligen, som ett resultat P tester kanske händelsen inte dyker upp alls, dyker upp en, två, tre gånger osv. innan P en gång.

Sannolikheten för varje värde av denna slumpvariabel kan hittas med Bernoullis formel.

Denna formel uttrycker analytiskt den önskade distributionslagen. Denna distributionslag kallas binom.

Exempel. Batchen innehåller 10% icke-standarddelar. 4 delar valdes ut slumpmässigt. Skriv en binomialfördelningslag för en diskret slumpvariabel X - antalet icke-standardiserade delar bland de fyra valda och konstruera en polygon av den resulterande fördelningen.

Sannolikheten för att en icke-standarddel dyker upp i varje fall är 0,1.

Låt oss hitta sannolikheterna att bland de valda delarna:

1) Det finns inga icke-standardiserade alls.

2) En är icke-standard.

3) Två icke-standardiserade delar.

4) Tre icke-standardiserade delar.

5) Fyra icke-standarddelar.

Låt oss konstruera en fördelningspolygon.

Exempel. Två tärningar kastas 2 gånger samtidigt. Skriv en binomial lag för fördelningen av en diskret slumpvariabel X - antalet förekomster av ett jämnt antal poäng på två tärningar.

Varje tärningar har tre alternativ för jämna poäng - 2, 4 och 6 av sex möjliga, så sannolikheten att få ett jämnt antal poäng på en tärning är 0,5.

Sannolikheten att få jämna poäng på två tärningar samtidigt är 0,25.

Sannolikheten att få jämna poäng på båda tärningarna i två försök är lika.

Exempel 6. Kartongen innehåller 11 delar, 3 av dem är icke-standardiserade. En del tas ur lådan två gånger, utan att lämna tillbaka dem. Hitta sannolikheten att en standarddel tas ut ur lådan andra gången - händelse B, om en icke-standarddel togs ut första gången - händelse A.

Efter den första extraktionen, i en låda med 10 delar, återstod 8 standarddelar, och därför den nödvändiga sannolikheten

Formel för total sannolikhet. Bayes formel

Exempel 7. Det finns tre identiska urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra innehåller 9 vita och 6 svarta kulor; i den tredje finns det bara svarta kulor. En boll dras från en slumpmässigt utvald urna. Vad är sannolikheten att den här bollen är svart.

Event A – en svart boll tas ut. Händelse A

H 1 – bollen togs från den första urnan;

H 2 – bollen togs från den andra urnan;

H 3 – bollen togs från den tredje urnan.

Eftersom valurnorna ser identiska ut, då:

A för varje hypotes.

Den svarta bollen togs från den första urnan:

Likaså:

1/3*2/3+1/3*2/5+1/3*1=31/45

Exempel 8. Det finns två urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra urnan innehåller 9 vita och 6 svarta kulor. En boll överförs från den första urnan till den andra utan att titta. Efter detta dras en kula från den andra urnan. Hitta sannolikheten att den här bollen kommer att vara svart.

Händelse A– en svart boll togs från den andra urnan. Händelse A kan hända med en av de inkompatibla händelserna (hypoteserna):

H 1 – en vit boll överfördes från den första urnan till den andra;

H 2 – en svart boll överfördes från den första urnan till den andra.

Sannolikheter för hypoteser:

Låt oss hitta de villkorade sannolikheterna för händelsen A. Om en vit boll överförs från den första urnan till den andra, innehåller den andra urnan 10 vita och 6 svarta bollar. Detta betyder att sannolikheten att få en svart boll från den är lika med:

Likaså:

Enligt den totala sannolikhetsformeln:

Exempel 9. Det finns tre urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra innehåller 9 vita och 6 svarta kulor; den tredje urnan innehåller 15 svarta kulor (inga vita kulor). En boll togs från en slumpmässigt vald urna. Den här bollen visade sig vara svart. Hitta sannolikheten att kulan drogs från den andra urnan.

Händelse A– en boll togs från en slumpmässigt vald urna.

Händelse A kan hända med en av de inkompatibla händelserna (hypoteserna):

H 1 – bollen togs från den första urnan;

H 2 – bollen togs från den andra urnan;

H 3 – bollen togs från den tredje urnan.

De tidigare sannolikheterna för hypoteserna är:

I uppgift 4 återfinns de betingade sannolikheterna för händelsen A och dess totala sannolikhet:

Låt oss hitta den bakre sannolikheten för hypotesen med hjälp av Bayes formel H 2 .

Den svarta bollen tas från den andra urnan:

Låt oss jämföra och:

Således, om det är känt att en svart kula drogs, minskar sannolikheten att den drogs från den andra urnan (detta motsvarar villkoret att den andra urnan innehåller minst antal svarta kulor).

Bernoullis formel

Exempel 10. Det finns sex barn i familjen. Sannolikheten att få en tjej är 0,49. Hitta sannolikheten att man bland dessa barn är en flicka.

Händelse A- en flicka föddes.

P = P(A) = 0,49;

q = 1 – sid = 1 – 0,49 = 0,51.

Bernoullis formel:

Bara sex barn, alltså n=6.

Vi måste hitta sannolikheten att det finns exakt en tjej bland dem, vilket betyder m = 1.

Exempel 11. Myntet kastas 6 gånger. Hitta sannolikheten att vapnet inte kommer att dyka upp mer än 5 gånger.

Händelse A– när man kastar ett mynt dyker ett vapen upp.

Myntet kastas 6 gånger, vilket betyder n = 6.

Händelse B– vapenskölden kommer inte att visas mer än 5 gånger.

Motsatt händelse:

– vapnet kommer att dyka upp mer än 5 gånger, det vill säga 6 gånger.

Skicka ditt goda arbete i kunskapsbasen är enkelt. Använd formuläret nedan

Studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

Postat på http://www.allbest.ru/

Sannolikhetsteori

Det finns 12 killar och 8 flickor i gruppen. 5 elever valdes ut slumpmässigt från tidningen. Hitta sannolikheten att det bland de utvalda eleverna finns exakt 3 tjejer.

Antal utvalda studenter enligt tidskriften.

Sannolikheten att välja en tjej slumpmässigt från hela gruppen.

Sannolikheten att inte välja en tjej slumpmässigt från hela gruppen (sannolikheten att välja en pojke).

k = 3 - antal utvalda tjejer.

Sannolikheten att det bland de utvalda 5 eleverna finns exakt 3 tjejer.

I en sats om 6 delar finns det 4 standarddelar. Vi tog 3 delar på måfå. Hitta sannolikheten att bland de valda delarna minst en är icke-standard.

Antal delar i partiet.

Antal standarddelar i en batch.

Sannolikheten att slumpmässigt ta en icke-standardiserad del från partiet.

Sannolikheten att inte slumpmässigt ta en icke-standarddel från en sats (sannolikheten att slumpmässigt ta en standarddel från en sats).

Sannolikheten att inte ta två icke-standardiserade delar från ett parti slumpmässigt (sannolikheten att ta två standarddelar från ett parti slumpmässigt).

Sannolikheten att inte ta tre icke-standardiserade delar från partiet slumpmässigt (sannolikheten att ta tre standarddelar från partiet slumpmässigt).

Sannolikheten att bland de valda delarna minst en är icke-standard.

Maskinen består av 3 självständigt arbetande delar. Sannolikheten för fel på delar är på motsvarande sätt lika med 0,1; 0,2; 0,15. Hitta sannolikheten för ett maskinfel om felet på minst en del är tillräckligt för att detta ska hända.

Sannolikheten att 1:a delen misslyckas.

Sannolikheten att den andra delen misslyckas.

Sannolikheten att den 3:e delen misslyckas.

Sannolikhet att 1:a delen inte misslyckas.

Sannolikhet att den andra delen inte misslyckas.

Sannolikhet att den 3:e delen inte misslyckas.

Sannolikheten för maskinhaveri om felet på minst en del är tillräckligt för att detta ska hända.

Två skyttar skjuter mot ett mål. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,5 för den första skytten och 0,6 för den andra. Hitta sannolikheten att under en volley bara en av skyttarna kommer att träffa målet.

Sannolikheten att den första skytten träffar målet.

Sannolikheten att den andra skytten träffar målet.

Sannolikheten att den första skytten missar målet.

Sannolikheten att den andra skytten missar målet.

Sannolikheten att under en salva endast en av skyttarna träffar målet.

Det finns 6 enheter i lådan, varav 4 fungerar. Vi tog 3 stycken på måfå. Hitta sannolikheten att alla tagna enheter kommer att fungera.

Antalet enheter som tagits slumpmässigt.

Sannolikheten att ta en fungerande enhet från lådan.

Sannolikheten att inte ta en fungerande enhet ur lådan.

Låt oss använda Bernoullis formel:

k = 3 - antalet arbetande enheter tagna slumpmässigt.

Sannolikheten är att alla enheter som tagits kommer att fungera.

Den första urnan innehåller 4 vita och 1 svarta kulor, den andra urnan innehåller 2 vita och 5 svarta kulor. 2 bollar överfördes från den första till den andra, sedan togs en boll från den andra urnan. Hitta sannolikheten att kulan som väljs från den andra urnan är svart.

Låt oss bestämma de möjliga utfallen av händelser när vi flyttar 2 bollar från den första urnan till den andra.

H1 - hypotes att 2 vita kulor drogs från den första urnan.

H2 - hypotes att 1 vit och 1 svart kula drogs från den första urnan.

Sannolikhet att dra en svart kula från 1:a urnan.

Sannolikhet att dra en vit boll från 1:a urnan.

Sannolikhet för hypotes H1.

Sannolikhet för hypotes H2.

Betrakta nu sannolikheten för händelsen när var och en av hypoteserna inträffade.

Sannolikheten att dra en svart kula från 2:a urnan om hypotes H1 inträffar.

Sannolikheten att dra en svart kula från 2:a urnan om hypotes H2 inträffar.

Sannolikheten att kulan som väljs från den andra urnan är svart.

Sannolikheten är att den del som tillverkas vid fabrik nr 1 är av utmärkt kvalitet.

Sannolikheten är att den del som tillverkas vid fabrik nr 2 är av utmärkt kvalitet.

Sannolikheten är att den del som tillverkas vid fabrik nr 3 är av utmärkt kvalitet.

Möjlighet att dra ur en låda en del tillverkad på fabrik nr 1.

Möjlighet att dra ur en låda en del tillverkad på fabrik nr 2.

Möjlighet att dra ur en låda en del tillverkad på fabrik nr 3.

Enligt den totala sannolikhetsformeln:

Sannolikheten att en del som tas bort slumpmässigt kommer att vara av utmärkt kvalitet.

Det finns tre partier av produkter, var och en innehåller 25 produkter. Antalet standardprodukter är 20, 21 respektive 22. Från en slumpmässigt utvald batch extraherades en produkt som visade sig vara standard slumpmässigt. Hitta sannolikheten att det togs från 1 batch.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald del från den första satsen är standard.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald del från den 2:a satsen är standard.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald del från den 3:e satsen är standard.

Sannolikheten att välja ett av tre spel slumpmässigt.

Enligt Bayes formel:

Sannolikheten att en slumpmässigt borttagen artikel togs från 1 batch.

Två maskiner tillverkar delar. Den andra maskinens produktivitet är dubbelt så stor som den första. Den första maskinen producerar 80% av delar av utmärkt kvalitet, och den andra - 90%. Den del som togs slumpmässigt visade sig vara av utmärkt kvalitet. Hitta sannolikheten att denna del tillverkades av 1 maskin.

teori sannolikhet hitta val träff

Sannolikheten att delen som produceras av den första maskinen är av utmärkt kvalitet.

Sannolikheten är att delen som produceras av den andra maskinen är av utmärkt kvalitet.

Eftersom produktiviteten för den andra maskinen är dubbelt så stor som den första, av tre villkorligt tillverkade delar är två delar från den andra maskinen och en från den första maskinen.

Sannolikheten för att slumpmässigt välja en del som produceras av den första maskinen.

Sannolikheten att slumpmässigt välja en del som produceras av den andra maskinen.

Enligt Bayes formel:

Det är troligt att en slumpmässigt utvald del av utmärkt kvalitet visade sig vara en del som producerades av den första maskinen.

Myntet kastas 9 gånger. Hitta sannolikheten för att "vapnet" kommer att visas: a.) mindre än 4 gånger; b.) minst 4 gånger.

Sannolikheten att ett "vapen" dyker upp.

Sannolikheten att "vapnet" inte kommer att visas.

Låt oss använda Bernoullis formel:

Antal myntkast.

Sannolikheten att få ett mynt med ett vapen är mindre än 4 gånger.

k = 0, 1, 2, 3 - antalet gånger "vapenskölden" visas.

Sannolikheten att få ett mynt med ett vapen är 0 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 1 gång på 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 2 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med ett vapen är 3 gånger av 9.

Sannolikheten för att myntet dyker upp som ett vapen är minst 4 gånger.

k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - antalet gånger "vapenskölden" visas.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 4 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 5 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 6 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 7 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med en vapensköld är 8 gånger av 9.

Sannolikheten att få ett mynt med ett vapen är 9 gånger av 9.

Sannolikheten att få en pojke är 0,51. Hitta sannolikheten att det bland 100 nyfödda kommer att finnas 50 pojkar.

Sannolikhet att få en pojke.

Sannolikhet att inte få en pojke (sannolikhet att få en tjej).

Antal nyfödda.

Antal födda pojkar.

Låt oss använda Moivre-Laplaces lokala sats, eftersom

Tabellerade även Gaussisk funktion,

Med hjälp av tabellen hittar vi värdet

Sannolikheten att det bland 100 nyfödda kommer att finnas 50 pojkar.

Sannolikheten för att en händelse inträffar i var och en av 100 oberoende försök är 0,8. Hitta sannolikheten för att händelsen kommer att dyka upp: a.) minst 75 gånger och inte mer än 90 gånger; b.) minst 90 gånger.

Sannolikheten för att en händelse inträffar.

Sannolikheten att en händelse inte inträffar.

Totalt antal försök.

Antal tester.

Antal tester.

Med hjälp av tabellen hittar vi värdet

Sannolikheten att händelsen dyker upp minst 75 gånger och högst 90 gånger.

Antal tester.

Antal tester.

Låt oss använda Moivre-Laplace integralsats sedan

Tabellerad udda Laplace-funktion,

Med hjälp av tabellen hittar vi värdet

Sannolikheten att händelsen dyker upp minst 90 gånger.

En diskret slumpvariabel specificeras av distributionslagen:

a.) konstruera en fördelningspolygon och hitta fördelningsfunktionen F(x);

b.) Hitta M(X), D(X), .

Förväntat värde.

Dispersion.

Standardavvikelse.

Fördelningstätheten f(x) för en kontinuerlig stokastisk variabel X ges.

a.) hitta A och fördelningsfunktionen F(x);

b.) hitta M(x), D(x),

Postat på Allbest.ru

Liknande dokument

Tillämpning av den klassiska definitionen av sannolikhet för att hitta givna kombinationer bland ett visst antal delar. Bestämma sannolikheten för att en passagerare kommer till det första biljettkontoret. Användande lokalt teorem Moivre-Laplace metod för att uppskatta avvikelse.

test, tillagt 2014-11-23


Analys av lösningar på problem inom sannolikhetsteorin: bestäm sannolikheten att summan av poäng inte överstiger 12 på de övre sidorna av två tärningar, bestäm bland lotter det sannolika antalet vinster och antalet defekta varor i partiet.

test, tillagt 2010-12-27


Proceduren för att bestämma graden av sannolikhet att hitta ett värde av tio möjliga. Metod för att beräkna standarddelar bland de testade med en sannolikhet på 0,95. Bedömning av sannolikheten för en uppgång i kursen på bolagets aktier, samt göra vinst på börsen.

test, tillagt 2011-10-16


Grundläggande begrepp inom kombinatorik. Definition av sannolikhetsteori. Begreppet matematisk förväntan och spridning. Grundläggande element i matematisk statistik. Villkorlig sannolikhet är sannolikheten för en händelse givet att en annan händelse redan har inträffat.

abstrakt, tillagt 2013-11-25


Tillämpning av den klassiska definitionen av sannolikhet för att lösa ekonomiska problem. Bestämma sannolikheten för att defekta och icke-defekta delar kommer in i monteringen. Beräkning av sannolikhets- och provvärdesstatistik med Bernoullis formel.

test, tillagt 2010-09-18


Sannolikhetsteori som en vetenskap om tro att massa slumpmässiga händelser det finns deterministiska mönster. Matematiska bevis för teorin. Sannolikhetsteorins axiomatik: definitioner, rymdsannolikhet, betingad sannolikhet.

föreläsning, tillagd 2008-02-04


Egenskaper för en komplett grupp av händelser som en uppsättning av alla möjliga resultat av ett experiment. Metoder för att bestämma sannolikheten för händelser i problem av olika riktningar. Att hitta sannolikheten för antalet icke-standardiserade delar. Uppbyggnad av distributionsfunktionen.

uppgift, tillagd 2011-03-19


Analys av slumpmässiga fenomen, statistisk bearbetning av resultaten av numeriska experiment. Metoder för att beräkna förekomsten av en förväntad händelse. Lösa problem relaterade till sannolikhetsteori. Sannolikheten för att en slumpvariabel faller inom ett givet intervall.

test, tillagt 2013-09-21


Sök efter önskad sannolikhet genom den motsatta händelsen. Integral formel för Moivre–Laplace. Att hitta sannolikheten för att en distribuerad slumpvariabel faller in i ett givet intervall baserat på dess matematiska förväntan och standardavvikelse.

test, tillagt 2011-03-17


Beräkning av matematisk förväntan, varians och korrelationskoefficient. Bestämning av fördelningsfunktionen och dess densitet. Att hitta sannolikheten att falla in i ett visst intervall. Funktioner för att konstruera ett frekvenshistogram. Tillämpning av Pearson-kriteriet.