I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 4. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Lös problemet med ett symmetriskt mynt

Problemformulering: I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden (svansar) inte kommer att dyka upp ens en gång (kommer att dyka upp exakt/minst 1, 2 gånger).

Problemet är en del av Unified State Examination i grundläggande matematik för årskurs 11 under nummer 10 (Klassisk definition av sannolikhet).

Låt oss titta på hur sådana problem löses med hjälp av exempel.

Exempeluppgift 1:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden inte kommer upp ens en gång.

OO ELLER RO RR

Det finns totalt 4 sådana kombinationer.Vi är bara intresserade av de som inte innehåller en enda örn. Det finns bara en sådan kombination (PP).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempeluppgift 2:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att få huvuden exakt två gånger.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden visas exakt 2 gånger. Det finns bara en sådan kombination (OO).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempeluppgift 3:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt en gång.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden kom upp exakt 1 gång. Det finns bara två sådana kombinationer (OR och RO).

Svar: 0,5

Exempeluppgift 4:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp minst en gång.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden förekommer minst en gång. Det finns bara tre sådana kombinationer (OO, OP och RO).

P = 3/4 = 0,75

Myntkastningsproblem anses vara ganska svåra. Och innan du löser dem krävs en liten förklaring. Tänk på det, alla problem i sannolikhetsteorin kommer i slutändan ner på standardformeln:

där p är den önskade sannolikheten, k är antalet händelser som passar oss, n är det totala antalet möjliga händelser.

De flesta B6-problem kan lösas med den här formeln bokstavligen på en rad - läs bara villkoret. Men när det gäller att kasta mynt är denna formel värdelös, eftersom det från texten till sådana problem inte alls är klart vad siffrorna k och n är lika med. Det är här svårigheten ligger.

Det finns dock åtminstone två fundamentalt olika lösningsmetoder:

1. Metoden för att räkna upp kombinationer är en standardalgoritm. Alla kombinationer av huvuden och svansar skrivs ut, varefter de nödvändiga väljs ut;
2. En speciell sannolikhetsformel är en standarddefinition av sannolikhet, speciellt omskriven så att det är bekvämt att arbeta med mynt.

För att lösa problem B6 behöver du känna till båda metoderna. Tyvärr är det bara den första som lärs ut i skolor. Låt oss inte upprepa skolans misstag. Låt oss gå!

Kombinationssökningsmetod

Denna metod kallas även "lösningen framåt". Består av tre steg:

1. Vi skriver ner alla möjliga kombinationer av huvud och svans. Till exempel: OR, RO, OO, RR. Antalet sådana kombinationer är n;
2. Bland de erhållna kombinationerna noterar vi de som krävs av villkoren för problemet. Vi räknar de markerade kombinationerna - vi får talet k;
3. Det återstår att hitta sannolikheten: p = k: n.

Tyvärr fungerar denna metod bara för ett litet antal kast. För med varje nytt kast fördubblas antalet kombinationer. Till exempel, för 2 mynt måste du bara skriva ut 4 kombinationer. För 3 mynt finns det redan 8 av dem, och för 4 - 16, och sannolikheten för fel närmar sig 100%. Ta en titt på exemplen så förstår du allt själv:

Uppgift. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att du får samma antal huvuden och svansar.

Så myntet kastas två gånger. Låt oss skriva ner alla möjliga kombinationer (O - huvuden, P - svansar):

Totalt n = 4 alternativ. Låt oss nu skriva ner alternativen som passar villkoren för problemet:

Det fanns k = 2 sådana alternativ. Hitta sannolikheten:

Uppgift. Myntet kastas fyra gånger. Hitta sannolikheten att du aldrig kommer att få huvuden.

Återigen skriver vi ner alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POP POP POP POPPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Totalt fanns det n = 16 alternativ. Det verkar som att jag inte har glömt någonting. Av dessa alternativ är vi bara nöjda med kombinationen "OOOO", som inte innehåller svansar alls. Därför är k = 1. Det återstår att hitta sannolikheten:

Som du kan se var jag tvungen att skriva ut 16 alternativ i det sista problemet. Är du säker på att du kan skriva ut dem utan att göra ett enda misstag? Personligen är jag inte säker. Så låt oss titta på den andra lösningen.

Särskild sannolikhetsformel

Så myntproblem har sin egen sannolikhetsformel. Det är så enkelt och viktigt att jag bestämde mig för att formulera det i form av ett teorem. Ta en titt:

Sats. Låt myntet kastas n gånger. Då kan sannolikheten att huvuden visas exakt k gånger hittas med formeln:

Där C n k är antalet kombinationer av n element med k, vilket beräknas med formeln:

För att lösa myntproblemet behöver du alltså två siffror: antalet kast och antalet huvuden. Oftast anges dessa siffror direkt i problemtexten. Dessutom spelar det ingen roll exakt vad du räknar: svansar eller huvuden. Svaret blir detsamma.

Vid första anblicken verkar satsen för krånglig. Men när du väl övat lite kommer du inte längre vilja återgå till standardalgoritmen som beskrivs ovan.

Uppgift. Myntet kastas fyra gånger. Hitta sannolikheten att få huvuden exakt tre gånger.

Enligt villkoren för problemet var det n = 4 totala kast. Det erforderliga antalet huvuden: k = 3. Ersätt n och k i formeln:

Uppgift. Myntet kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att du aldrig kommer att få huvuden.

Vi skriver ner talen n och k igen. Eftersom myntet kastas 3 gånger, n = 3. Och eftersom det inte borde finnas några huvuden, k = 0. Det återstår att ersätta talen n och k i formeln:

Låt mig påminna dig om att 0! = 1 per definition. Därför C 3 0 = 1.

Uppgift. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 4 gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp fler gånger än svansar.

För att det ska finnas fler huvuden än svansar måste de dyka upp antingen 3 gånger (då blir det 1 svans) eller 4 gånger (då blir det inga svansar alls). Låt oss ta reda på sannolikheten för var och en av dessa händelser.

Låt p 1 vara sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp 3 gånger. Då är n = 4, k = 3. Vi har:

Låt oss nu hitta p 2 - sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp alla fyra gångerna. I det här fallet n = 4, k = 4. Vi har:

För att få svaret återstår bara att lägga till sannolikheterna p 1 och p 2 . Kom ihåg: du kan bara lägga till sannolikheter för ömsesidigt uteslutande händelser. Vi har:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Skick

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp minst en gång.

Lösning

1. Vi kommer att lösa detta problem med formeln:

Där P(A) är sannolikheten för händelse A, m är antalet gynnsamma utfall för denna händelse, n är det totala antalet möjliga utfall.

1. Låt oss tillämpa denna teori på vårt problem:

A – en händelse när huvuden dyker upp minst en gång;

P(A) – sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp minst en gång.

1. Låt oss definiera m och n:

m är antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse, det vill säga antalet utfall när huvuden dyker upp en gång. I experimentet kastas ett mynt två gånger, som har 2 sidor: svansar (P) och huvuden (O). Vi behöver huvuden för att komma upp minst en gång, och detta är möjligt när följande kombinationer kommer upp: OP, PO och OO, det vill säga det visar sig att

m = 3, eftersom det finns 3 möjliga sätt att få minst 1 huvud;

n är det totala antalet möjliga utfall, det vill säga för att bestämma n måste vi hitta antalet av alla möjliga kombinationer som kan uppstå när man kastar ett mynt två gånger. När du kastar ett mynt för första gången kan det komma upp antingen svansar eller huvuden, det vill säga två alternativ är möjliga. När du kastar ett mynt en andra gång är exakt samma alternativ möjliga. Det visar sig att

Skick

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att samma sak kommer ut andra gången som första gången.

Lösning

1. Vi kommer att lösa detta problem med formeln:

Där P(A) är sannolikheten för händelse A, m är antalet gynnsamma utfall för denna händelse, n är det totala antalet möjliga utfall.

1. Låt oss tillämpa denna teori på vårt problem:

A – en händelse när samma sak dyker upp för andra gången som första gången;

P(A) – sannolikheten att samma sak kommer upp andra gången som första gången.

1. Låt oss definiera m och n:

m är antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse, det vill säga antalet utfall när samma sak händer andra gången som den första. I experimentet kastas ett mynt två gånger, som har 2 sidor: svansar (P) och huvuden (O). Vi behöver samma sak för att komma upp andra gången som första gången, och detta är möjligt när följande kombinationer dyker upp: OO eller PP, det vill säga, det visar sig att

m = 2, eftersom det finns 2 möjliga alternativ, när samma sak kommer upp andra gången som första gången;

n är det totala antalet möjliga utfall, det vill säga för att bestämma n måste vi hitta antalet av alla möjliga kombinationer som kan uppstå när man kastar ett mynt två gånger. När du kastar ett mynt för första gången kan det komma upp antingen svansar eller huvuden, det vill säga två alternativ är möjliga. När du kastar ett mynt en andra gång är exakt samma alternativ möjliga. Det visar sig att

I problemen om sannolikhetsteori, som presenteras i Unified State Exam nummer 4, finns det förutom problem med att kasta ett mynt och kasta en tärning. Vi ska titta på dem idag.

Myntkastningsproblem

Uppgift 1. Ett symmetriskt mynt kastas två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att visas exakt en gång.

I sådana problem är det bekvämt att skriva ner alla möjliga resultat, skriva dem med bokstäverna P (svansar) och O (huvuden). Så resultatet av OP betyder att det kom upp i huvudet vid det första kastet, och vid det andra kastet kom det upp i svansar. I det aktuella problemet finns det fyra möjliga utfall: RR, RO, OR, OO. Händelsen "svansar kommer att visas exakt en gång" gynnas av 2 resultat: RO och OP. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,5.

Uppgift 2. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att det landar på huvuden exakt två gånger.

Det finns totalt 8 möjliga utfall: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Händelsen "huvuden kommer att dyka upp exakt två gånger" gynnas av tre utfall: ROO, ORO, OOR. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,375.

Uppgift 3. Innan en fotbollsmatch startar slår domaren ett mynt för att avgöra vilket lag som ska börja med bollen. Emerald-laget spelar tre matcher med olika lag. Hitta sannolikheten att "Emerald" i dessa spel kommer att vinna lotten exakt en gång.

Denna uppgift liknar den föregående. Låt varje gång landningshuvuden betyda att man vinner lotten med "Smaragden" (detta antagande påverkar inte beräkningen av sannolikheter). Då är 8 utfall möjliga: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Händelsen "svansar kommer att visas exakt en gång" gynnas av tre utfall: ROO, ORO, OOR. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,375.

Problem 4. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att ROO-utfallet kommer att inträffa (första gången det landar huvuden, andra och tredje gången det landar huvuden).

Som i tidigare uppgifter finns det 8 utfall: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Sannolikheten för att ROO-utfallet inträffar är lika med .

Svar: 0,125.

Problem med tärning

Uppgift 5. Tärningarna kastas två gånger. Hur många elementära resultat av experimentet gynnar händelsen "summan av poäng är 8"?

Problem 6. Två tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att summan blir 4 poäng. Avrunda resultatet till hundradelar.

I allmänhet, om tärningar kastas, finns det lika möjliga utfall. Samma antal utfall erhålls om samma tärning kastas flera gånger i rad.

Händelsen "det totala antalet är 4" gynnas av följande utfall: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Deras antal är 3. Den nödvändiga sannolikheten är .

För att beräkna det ungefärliga värdet av en bråkdel är det praktiskt att använda vinkeldelning. Således, ungefär lika med 0,083..., avrundat till närmaste hundradel har vi 0,08.

Svar: 0,08

Problem 7. Tre tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att summan blir 5 poäng. Avrunda resultatet till hundradelar.

Vi kommer att betrakta resultatet som tre siffror: poäng rullade på första, andra och tredje tärningar. Det finns alla lika möjliga resultat. Följande utfall är gynnsamma för händelsen "totalt 5": 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Deras antal är 6. Den nödvändiga sannolikheten är . För att beräkna det ungefärliga värdet av en bråkdel är det praktiskt att använda vinkeldelning. Ungefär får vi 0,027..., avrundat till hundradelar har vi 0,03. Källa "Förberedelser för Unified State Exam. Matematik. Sannolikhetsteori". Redigerad av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova