Sannolikheten att händelser inträffar. Formel för total sannolikhet. Bayes formel
Exempel 1. I den första urnan: tre röda, en vit boll. I den andra urnan: en röd, tre vita kulor. Ett mynt kastas slumpmässigt: om det är ett vapen, väljs det från den första urnan, annars från den andra.
Lösning:
a) sannolikheten att en röd boll drogs
A – fick en röd boll
P 1 – vapnet föll, P 2 - annars
b) Den röda bollen väljs. Hitta sannolikheten att det är hämtat från den första urnan från den andra urnan.
B 1 – från första urnan, B 2 – från andra urnan
,
Exempel 2. Det finns 4 bollar i en låda. Kan vara: bara vit, bara svart eller vit och svart. (Komposition okänd).
Lösning:
A – sannolikheten för att en vit boll dyker upp
a) Helt vitt:
(sannolikheten att du har ett av de tre alternativen där det finns vita) 
(sannolikheten att en vit boll dyker upp där alla är vita) 
b) Dras ut där alla är svarta 
c) drog ut alternativet där alla är vita och/eller svarta
- åtminstone en av dem är vit 
Pa+Pb+Pc= 
Exempel 3. Det finns 5 vita och 4 svarta kulor i en urna. 2 bollar tas ur den i rad. Hitta sannolikheten att båda bollarna är vita.
Lösning:
5 vita, 4 svarta bollar
P(A 1) – den vita bollen togs ut 
P(A 2) – sannolikhet att den andra kulan också är vit 
P(A) – vita bollar valda i rad
Exempel 3a. Det finns 2 falska och 8 äkta i ett paket sedlar. 2 sedlar drogs ut ur förpackningen i rad. Hitta sannolikheten att båda är falska.
Lösning:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Exempel 4. Det finns 10 papperskorgar. Det finns 9 urnor med 2 svarta och 2 vita kulor. Det finns 5 vita och 1 svart i 1 urna. En boll drogs från en urna tagen på måfå.
Lösning:
P(A) - ? en vit boll tas från en urna som innehåller 5 vita
B – sannolikhet att bli tagen från en urna som innehåller 5 vita
, - tas ut från andra
C 1 – sannolikheten för att en vit boll dyker upp på nivå 9. 
C 2 – sannolikheten för att en vit boll dyker upp, där det finns 5 av dem
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2) 
Exempel 5. 20 cylindriska rullar och 15 konformade. Plockaren tar 1 rulle och sedan en till.
Lösning:
a) båda rullarna är cylindriska
P(Ci)=; P(Ts 2)=
C 1 – första cylindern, C 2 – andra cylindern
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Minst en cylinder
K 1 – första konformad.
K 2 - andra konformad.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) den första cylindern, men inte den andra
P(C)=P(C 1)P(K 2) 
e) Inte en enda cylinder.
P(D)=P(K 1)P(K 2) 
e) Exakt 1 cylinder
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Exempel 6. Det finns 10 standarddelar och 5 defekta delar i en låda.
Tre delar dras slumpmässigt
a) En av dem är defekt
Pn(K)=Cnk·pk·qn-k,
P – sannolikhet för defekta produkter 
q – sannolikhet för standarddelar
n=3, tre delar
b) två av tre delar är defekta P(2)
c) minst en standard
P(0) - ingen defekt
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - sannolikhet att minst en del kommer att vara standard
Exempel 7. Den 1:a urnan innehåller 3 vita och svarta kulor, och den andra urnan innehåller 3 vita och 4 svarta kulor. 2 bollar överförs från den 1:a urnan till den 2:a utan att titta, och sedan dras 2 bollar från den 2:a. Vad är sannolikheten att de har olika färg?
Lösning:
När du flyttar bollar från den första urnan är följande alternativ möjliga:
a) tog ut 2 vita bollar i rad
P BB 1 = 
I det andra steget kommer det alltid att vara en boll mindre, eftersom i det första steget en boll redan var uttagen.
b) tog ut en vit och en svart boll
Situationen när den vita bollen dras först, och sedan den svarta
P stridsspets = 
Situationen när den svarta bollen drogs först, och sedan den vita
P BW = 
Totalt: P stridsspets 1 =
c) tog ut 2 svarta kulor i rad
P HH 1 = 
Eftersom 2 bollar överfördes från den första urnan till den andra urnan kommer det totala antalet bollar i den andra urnan att vara 9 (7 + 2). Följaktligen kommer vi att leta efter alla möjliga alternativ:
a) först togs en vit och sedan en svart boll från den andra urnan
P BB 2 P BB 1 - betyder sannolikheten att först en vit kula drogs, sedan en svart kula, förutsatt att 2 vita kulor drogs från första urnan i rad. Det är därför antalet vita kulor i detta fall är 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - betyder sannolikheten att först en vit kula drogs, sedan en svart kula, förutsatt att vita och svarta kulor drogs från den första urnan. Det är därför antalet vita kulor i det här fallet är 4 (3+1), och antalet svarta kulor är fem (4+1).
P BC 2 P BC 1 - betyder sannolikheten att först en vit kula drogs, sedan en svart kula, förutsatt att båda svarta kulorna drogs från den första urnan i rad. Det är därför antalet svarta kulor i detta fall är 6 (4+2).
Sannolikheten att 2 dragna bollar kommer att vara av olika färg är lika med: 
Svar: P = 0,54
Exempel 7a. Från den första urnan som innehöll 5 vita och 3 svarta kulor överfördes 2 kulor slumpmässigt till den andra urnan som innehöll 2 vita och 6 svarta kulor. Sedan drogs 1 boll slumpmässigt från 2:a urnan.
1) Vad är sannolikheten att kulan som dras från 2:a urnan visar sig vara vit?
2) Bollen som togs från 2:a urnan visade sig vara vit. Beräkna sannolikheten för att kulor i olika färger flyttades från 1:a urnan till 2:a.
Lösning.
1) Händelse A - bollen som dras från 2:a urnan visar sig vara vit. Låt oss överväga följande alternativ för förekomsten av denna händelse.
a) Två vita kulor placerades från den första urnan till den andra: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Det finns totalt 4 vita kulor i den andra urnan. Då är sannolikheten att dra en vit boll från den andra urnan P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Vita och svarta kulor placerades från den första urnan till den andra: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Det finns totalt 3 vita kulor i den andra urnan. Då är sannolikheten att dra en vit boll från den andra urnan P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Två svarta kulor placerades från den första urnan till den andra: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Det finns totalt 2 vita kulor i den andra urnan. Då är sannolikheten att dra en vit boll från den andra urnan P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Då är sannolikheten att bollen som dras från den andra urnan visar sig vara vit:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Bollen som togs från 2:a urnan visade sig vara vit, d.v.s. den totala sannolikheten är P(A)=13/32.
Sannolikhet att kulor av olika färg (svart och vit) placerades i den andra urnan och vitt valdes: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Exempel 7b. Den första urnan innehåller 8 vita och 3 svarta kulor, den andra urnan innehåller 5 vita och 3 svarta kulor. En boll väljs slumpmässigt från den första och två bollar från den andra. Efter detta tas en boll slumpmässigt från de tre utvalda bollarna. Den sista bollen visade sig vara svart. Hitta sannolikheten att en vit kula dras från den första urnan.
Lösning.
Låt oss överväga alla varianter av händelse A - av tre bollar visar sig den dragna bollen vara svart. Hur kunde det hända att det bland de tre kulorna fanns en svart?
a) En svart boll togs från den första urnan och två vita bollar togs från den andra urnan.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) En svart kula togs från den första urnan, två svarta kulor togs från den andra urnan.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) En svart kula togs från den första urnan, en vit och en svart kula togs från den andra urnan.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) En vit boll togs från den första urnan, och två svarta bollar togs från den andra urnan.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) En vit kula togs från den första urnan, en vit och en svart kula togs från den andra urnan.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Den totala sannolikheten är: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Sannolikheten att en vit kula dras från en vit urna är:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Då är sannolikheten att en vit kula valdes från den första urnan, givet att en svart kula valdes från tre kulor, lika med:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Exempel 7c. Den första urnan innehåller 12 vita och 16 svarta kulor, den andra urnan innehåller 8 vita och 10 svarta kulor. Samtidigt dras en boll från 1:a och 2:a urnan, blandas och returneras en till varje urna. Sedan dras en boll från varje urna. De visade sig ha samma färg. Bestäm sannolikheten att det finns lika många vita kulor kvar i 1:a urnan som det fanns i början.
Lösning.
Event A - en boll dras samtidigt från 1:a och 2:a urnan.
Sannolikhet att dra en vit boll från den första urnan: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Sannolikhet att dra en svart kula från den första urnan: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Sannolikhet att dra en vit boll från den andra urnan: P2(B) = 8/18 = 4/9
Sannolikhet att dra en svart kula från den andra urnan: P2(H) = 10/18 = 5/9
Händelse A inträffade. Händelse B - en boll dras från varje urna. Efter att ha blandat är sannolikheten för att en vit eller svart boll kommer tillbaka till urnan ½.
Låt oss överväga alternativen för händelse B - de visade sig vara i samma färg.
För första urnan
1) en vit kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs, förutsatt att en vit kula tidigare dragits, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) en vit kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs ut tidigare, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) en vit kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en vit kula drogs ut tidigare, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) en vit kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs ut tidigare, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) en svart kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs, förutsatt att en vit kula tidigare dragits, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) en svart kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs, förutsatt att en svart kula drogs tidigare, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) en svart kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en vit kula drogs ut tidigare, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) en svart kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs tidigare, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
För den andra urnan
1) en vit kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs, förutsatt att en vit kula tidigare dragits, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) en vit kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs ut tidigare, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) en vit kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en vit kula drogs ut tidigare, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) en vit kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs ut tidigare, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) en svart kula sattes i den första urnan och en vit kula drogs ut, förutsatt att en vit kula drogs ut tidigare, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) en svart kula placerades i den första urnan och en vit kula drogs ut, förutsatt att en svart kula drogs ut tidigare, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) en svart kula placerades i den första urnan och en svart drogs ut, förutsatt att en vit kula drogs ut tidigare, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) en svart kula placerades i den första urnan och en svart drogs, förutsatt att en svart kula hade dragits tidigare, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Kulorna visade sig ha samma färg:
en vit
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) svart
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Exempel 7d. Den första lådan innehåller 5 vita och 4 blå bollar, den andra innehåller 3 och 1, och den tredje innehåller 4 respektive 5. En låda valdes slumpmässigt och en boll som drogs ut ur den visade sig vara blå. Vad är sannolikheten att den här bollen kommer från den andra rutan?
Lösning.
A - händelse av att rita en blå boll. Låt oss överväga alla möjliga resultat av en sådan händelse.
H1 - bollen från den första rutan,
H2 - bollen drog ut från den andra rutan,
H3 - en boll som dras från den tredje rutan.
P(Hl) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Enligt villkoren för problemet är de villkorade sannolikheterna för händelse A lika med:
P(A|Hl) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Sannolikheten att denna boll kommer från den andra rutan är:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Exempel 8. Fem lådor med 30 bollar vardera innehåller 5 röda bollar (detta är en låda med sammansättning H1), sex andra lådor med 20 bollar vardera innehåller 4 röda bollar (detta är en låda med sammansättning H2). Hitta sannolikheten att en slumpmässig röd boll finns i en av de första fem rutorna.
Lösning: Problemet är att tillämpa den totala sannolikhetsformeln.
P(H1) = 5/11
Sannolikheten att några den tagna bollen finns i en av sex lådor:
P(H2) = 6/11
Händelsen inträffade - den röda bollen drogs ut. Därför kan detta hända i två fall:
a) utdragen från de första fem lådorna.
P 5 = 5 röda bollar * 5 lådor / (30 bollar * 5 lådor) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) utdragen från sex andra lådor.
P 6 = 4 röda bollar * 6 lådor / (20 bollar * 6 lådor) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Totalt: P(P5/H1) + P(P6/H2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Därför är sannolikheten att en slumpmässig dragen röd boll finns i en av de första fem rutorna:
P k.sh. (H1) = P(P5/H1)/(P(P5/H1) + P(P6/H2)) = 5/66/61/330 = 25/61
Exempel 9. Urnan innehåller 2 vita, 3 svarta och 4 röda kulor. Tre bollar dras slumpmässigt. Vad är sannolikheten att minst två bollar kommer att ha samma färg?
Lösning. Det finns tre möjliga resultat:
a) bland de tre dragna bollarna fanns det minst två vita.
Pb(2) = P2b
Det totala antalet möjliga elementära resultat för dessa tester är lika med antalet sätt på vilka 3 bollar kan extraheras från 9: 
Låt oss ta reda på sannolikheten att bland de 3 utvalda bollarna är 2 vita.
Antal alternativ att välja mellan 2 vita bollar: 
Antal alternativ att välja mellan 7 andra bollar tredje boll: 
b) bland de tre dragna kulorna fanns det minst två svarta (dvs antingen 2 svarta eller 3 svarta).
Låt oss hitta sannolikheten att bland de utvalda 3 kulorna är 2 svarta.
Antal alternativ att välja mellan 3 svarta bollar: 
Antal alternativ att välja mellan 6 andra bollar av en boll: 
P2h = 0,214
Låt oss hitta sannolikheten för att alla valda kulor är svarta. 
Ph (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) bland de tre dragna bollarna fanns det minst två röda (dvs antingen 2 röda eller 3 röda).
Låt oss hitta sannolikheten att bland de 3 valda bollarna är 2 röda.
Antal alternativ att välja mellan 4 svarta bollar: 
Antal alternativ att välja mellan: 5 vita bollar, återstående 1 vit: 
Låt oss hitta sannolikheten för att alla valda bollar är röda. 
P till (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Då är sannolikheten att minst två kulor kommer att ha samma färg lika med: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Exempel 10. Den första urnan innehåller 10 kulor, 7 av dem vita; Den andra urnan innehåller 20 kulor, varav 5 är vita. En boll dras slumpmässigt från varje urna, och sedan dras en boll slumpmässigt från dessa två bollar. Hitta sannolikheten att den vita bollen dras.
Lösning. Sannolikheten att en vit kula dras från den första urnan är P(b)1 = 7/10. Följaktligen är sannolikheten att dra en svart kula P(h)1 = 3/10.
Sannolikheten att en vit kula dras från den andra urnan är P(b)2 = 5/20 = 1/4. Följaktligen är sannolikheten att dra en svart kula P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Händelse A - en vit boll tas från två bollar
Låt oss överväga det möjliga resultatet av händelse A.
- En vit kula drogs från den första urnan och en vit kula drogs från den andra urnan. Sedan drogs en vit boll från dessa två bollar. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- En vit kula drogs från den första urnan och en svart kula drogs från den andra urnan. Sedan drogs en vit boll från dessa två bollar. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- En svart kula drogs från den första urnan och en vit kula drogs från den andra urnan. Sedan drogs en vit boll från dessa två bollar. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Exempel 11. Det finns n tennisbollar i lådan. Av dessa spelades m. För det första spelet togs två bollar på måfå och lades tillbaka efter matchen. Till den andra matchen tog vi också två bollar på måfå. Vad är sannolikheten att det andra spelet kommer att spelas med nya bollar?
Lösning. Tänk på händelse A - spelet spelades för andra gången med nya bollar. Låt oss se vilka händelser som kan leda till detta.
Låt oss beteckna med g = n-m antalet nya bollar innan de dras ut.
a) för det första spelet drogs två nya bollar ut.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) för det första spelet drog de ut en ny boll och en spelade redan en.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) för det första spelet drogs två spelade bollar ut.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Låt oss titta på händelserna i det andra spelet.
a) Två nya bollar drogs, under villkor P1: eftersom nya bollar redan hade dragits för det första spelet, minskade deras antal för det andra spelet med 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Två nya bollar drogs, under villkor P2: eftersom en ny boll redan hade dragits för det första spelet, minskade deras antal för det andra spelet med 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Två nya bollar drogs, under villkor P3: eftersom tidigare inga nya bollar användes för det första spelet, ändrades deras antal inte för det andra spelet g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Total sannolikhet P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Svar: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Exempel 12. Den första, andra och tredje lådan innehåller 2 vita och 3 svarta bollar, den fjärde och femte lådan innehåller 1 vit och 1 svart boll. En ruta väljs slumpmässigt och en boll dras från den. Vad är den villkorade sannolikheten att den fjärde eller femte rutan väljs om bollen som dras är vit?
Lösning.
Sannolikheten för att välja varje ruta är P(H) = 1/5.
Låt oss överväga de villkorade sannolikheterna för händelse A - att dra den vita bollen.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Total sannolikhet att dra en vit boll:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Villkorlig sannolikhet att den fjärde rutan är markerad
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Villkorlig sannolikhet att den femte rutan är markerad
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Totalt är den villkorade sannolikheten att den fjärde eller femte rutan väljs
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Exempel 13. Det fanns 7 vita och 4 röda kulor i urnan. Sedan sattes en ny boll av vit eller röd eller svart färg i urnan och efter blandning togs en boll ut. Den visade sig vara röd. Vad är sannolikheten att a) en röd boll placerades? b) svart boll?
Lösning.
a) röd boll
Händelse A - den röda bollen dras. Händelse H - den röda bollen placeras. Sannolikheten att en röd kula placerades i urnan P(H=K) = 1/3
Då P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) svart boll
Händelse A - den röda bollen dras. Händelse H - en svart boll placeras.
Sannolikheten att en svart kula placerades i urnan P(H=H) = 1/3
Då P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111
Exempel 14. Det finns två urnor med kulor. En innehåller 10 röda och 5 blå bollar, i den andra finns 5 röda och 7 blå bollar. Vad är sannolikheten att en röd kula dras slumpmässigt från den första urnan och en blå kula från den andra?
Lösning. Låt händelsen A1 vara en röd boll som dras från den första urnan; A2 - en blå kula dras från den andra urnan:
,
Händelser A1 och A2 är oberoende. Sannolikheten för att händelserna A1 och A2 ska inträffa tillsammans är lika med
Exempel 15. Det finns en kortlek (36 bitar). Två kort dras slumpmässigt i rad. Vad är sannolikheten att båda korten som dras blir röda?
Lösning. Låt händelse A 1 vara det första röda kortet som dras. Händelse A 2 - det andra röda kortet som dras. B - båda korten som tas ut är röda. Eftersom både händelse A 1 och händelse A 2 måste inträffa, så är B = A 1 · A 2 . Händelser A 1 och A 2 är därför beroende av P(B):
, 
Härifrån 
Exempel 16. Två urnor innehåller kulor som bara skiljer sig i färg och i den första urnan finns 5 vita kulor, 11 svarta och 8 röda kulor och i den andra finns det 10, 8, 6 kulor. En boll dras slumpmässigt från båda urnorna. Vad är sannolikheten att båda bollarna har samma färg?
Lösning. Låt index 1 betyda vitt, index 2 betyda svart; 3 - röd färg. Låt händelsen A i vara att en kula i den i:te färgen dras från den första urnan; händelse B j - en kula med färg j dras från den andra urnan; händelse A - båda bollarna har samma färg.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Händelser A i och B j är oberoende, och A i · B i och A j · B j är inkompatibla för i ≠ j. Därav,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Exempel 17. Från en urna med 3 vita och 2 svarta kulor dras kulor en i taget tills svart dyker upp. Hitta sannolikheten att 3 kulor kommer att dras från urnan? 5 bollar?
Lösning.
1) sannolikheten att 3 kulor kommer att dras från urnan (dvs den tredje kulan kommer att vara svart och de två första kommer att vara vita).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) sannolikheten att 5 bollar kommer att dras från urnan
Denna situation är inte möjlig, eftersom endast 3 vita bollar.
P=0
Exempel 6. Kartongen innehåller 11 delar, 3 av dem är icke-standardiserade. En del tas ur lådan två gånger, utan att lämna tillbaka dem. Hitta sannolikheten att en standarddel tas ut ur lådan andra gången - händelse B, om en icke-standarddel togs ut första gången - händelse A.
Efter den första extraktionen, i en låda med 10 delar, återstod 8 standarddelar, och därför den nödvändiga sannolikheten
Formel för total sannolikhet. Bayes formel
Exempel 7. Det finns tre identiska urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra innehåller 9 vita och 6 svarta kulor; i den tredje finns det bara svarta kulor. En boll dras från en slumpmässigt utvald urna. Vad är sannolikheten att den här bollen är svart.
Event A – en svart boll tas ut. Händelse A
H 1 – bollen togs från den första urnan;
H 2 – bollen togs från den andra urnan;
H 3 – bollen togs från den tredje urnan.
Eftersom valurnorna ser identiska ut, då:
A för varje hypotes.
Den svarta bollen togs från den första urnan:
Likaså:
1/3*2/3+1/3*2/5+1/3*1=31/45
Exempel 8. Det finns två urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra urnan innehåller 9 vita och 6 svarta kulor. En boll överförs från den första urnan till den andra utan att titta. Efter detta dras en kula från den andra urnan. Hitta sannolikheten att den här bollen kommer att vara svart.
Händelse A– en svart boll togs från den andra urnan. Händelse A kan hända med en av de inkompatibla händelserna (hypoteserna):
H 1 – en vit boll överfördes från den första urnan till den andra;
H 2 – en svart boll överfördes från den första urnan till den andra.
Sannolikheter för hypoteser:
Låt oss hitta de villkorade sannolikheterna för händelsen A. Om en vit boll överförs från den första urnan till den andra, innehåller den andra urnan 10 vita och 6 svarta bollar. Detta betyder att sannolikheten att få en svart boll från den är lika med:
Likaså:
Enligt den totala sannolikhetsformeln:
Exempel 9. Det finns tre urnor: den första innehåller 5 vita och 10 svarta kulor; den andra innehåller 9 vita och 6 svarta kulor; den tredje urnan innehåller 15 svarta kulor (inga vita kulor). En boll togs från en slumpmässigt vald urna. Den här bollen visade sig vara svart. Hitta sannolikheten att kulan drogs från den andra urnan.
Händelse A– en boll togs från en slumpmässigt vald urna.
Händelse A kan hända med en av de inkompatibla händelserna (hypoteserna):
H 1 – bollen togs från den första urnan;
H 2 – bollen togs från den andra urnan;
H 3 – bollen togs från den tredje urnan.
De tidigare sannolikheterna för hypoteserna är:
I uppgift 4 återfinns de betingade sannolikheterna för händelsen A och dess totala sannolikhet:
Låt oss hitta den bakre sannolikheten för hypotesen med hjälp av Bayes formel H 2 .
Den svarta bollen tas från den andra urnan:
Låt oss jämföra och:
Således, om det är känt att en svart kula drogs, så minskar sannolikheten att den drogs från den andra urnan (detta motsvarar villkoret att den andra urnan innehåller minst antal svarta kulor).
Bernoullis formel
Exempel 10. Det finns sex barn i familjen. Sannolikheten att få en tjej är 0,49. Hitta sannolikheten att man bland dessa barn är en flicka.
Händelse A- en flicka föddes.
P = P(A) = 0,49;
q = 1 – sid = 1 – 0,49 = 0,51.
Bernoullis formel:
Bara sex barn, alltså n=6.
Vi måste hitta sannolikheten att det finns exakt en tjej bland dem, vilket betyder m = 1.
Exempel 11. Myntet kastas 6 gånger. Hitta sannolikheten att vapnet inte kommer att dyka upp mer än 5 gånger.
Händelse A– när man kastar ett mynt dyker ett vapen upp.
Myntet kastas 6 gånger, vilket betyder n = 6.
Händelse B– vapenskölden kommer inte att visas mer än 5 gånger.
Motsatt händelse:
– vapnet kommer att dyka upp mer än 5 gånger, det vill säga 6 gånger.
När ett mynt kastas kan vi säga att det landar heads up, eller sannolikhet detta är 1/2. Naturligtvis betyder det inte att om ett mynt kastas 10 gånger så kommer det nödvändigtvis att landa på huvuden 5 gånger. Om myntet är "rättvist" och om det kastas många gånger, kommer huvuden att landa väldigt nära halva tiden. Det finns alltså två typer av sannolikheter: experimentell Och teoretisk .
Experimentell och teoretisk sannolikhet
Om vi slår ett mynt ett stort antal gånger - säg 1000 - och räknar hur många gånger det landar på huvuden, kan vi bestämma sannolikheten att det landar på huvuden. Om huvuden kastas 503 gånger kan vi beräkna sannolikheten för att det landar:
503/1000 eller 0,503.
Detta experimentell definition av sannolikhet. Denna definition av sannolikhet kommer från observation och studie av data och är ganska vanlig och mycket användbar. Här är till exempel några sannolikheter som bestämdes experimentellt:
1. Sannolikheten att en kvinna kommer att utveckla bröstcancer är 1/11.
2. Om du kysser någon som är förkyld så är sannolikheten att du också blir förkyld 0,07.
3. En person som just har släppts från fängelset har 80 % chans att återvända till fängelset.
Om vi överväger att kasta ett mynt och ta hänsyn till att det är lika troligt att det kommer upp i huvuden eller svansar, kan vi beräkna sannolikheten att få huvuden: 1/2 Detta är en teoretisk definition av sannolikhet. Här är några andra sannolikheter som har bestämts teoretiskt med hjälp av matematik:
1. Om det är 30 personer i ett rum är sannolikheten att två av dem har samma födelsedag (exklusive år) 0,706.
2. Under en resa träffar du någon, och under samtalet upptäcker du att ni har en gemensam vän. Typisk reaktion: "Det här kan inte vara!" Faktum är att denna fras inte är lämplig, eftersom sannolikheten för en sådan händelse är ganska hög - drygt 22%.
Således bestäms experimentella sannolikheter genom observation och datainsamling. Teoretiska sannolikheter bestäms genom matematiska resonemang. Exempel på experimentella och teoretiska sannolikheter, som de som diskuterats ovan, och särskilt de som vi inte förväntar oss, leder oss till vikten av att studera sannolikhet. Du kanske frågar "Vad är sann sannolikhet?" Det finns faktiskt inget sådant. Sannolikheter inom vissa gränser kan bestämmas experimentellt. De kan eller kanske inte sammanfaller med de sannolikheter som vi får teoretiskt. Det finns situationer där det är mycket lättare att avgöra en typ av sannolikhet än en annan. Det skulle till exempel vara tillräckligt att hitta sannolikheten att bli förkyld med hjälp av teoretisk sannolikhet.
Beräkning av experimentella sannolikheter
Låt oss först överväga den experimentella definitionen av sannolikhet. Den grundläggande principen vi använder för att beräkna sådana sannolikheter är följande.
Princip P (experimentell)
Om i ett experiment där n observationer görs en situation eller händelse E inträffar m gånger i n observationer, sägs den experimentella sannolikheten för händelsen vara P (E) = m/n.
Exempel 1 Sociologisk undersökning. En experimentell studie genomfördes för att fastställa antalet vänsterhänta, högerhänta och personer vars båda händer är lika utvecklade Resultaten visas i grafen.
a) Bestäm sannolikheten för att personen är högerhänt.
b) Bestäm sannolikheten för att personen är vänsterhänt.
c) Bestäm sannolikheten för att en person är lika flytande i båda händerna.
d) De flesta Professional Bowling Association-turneringar är begränsade till 120 spelare. Baserat på data från detta experiment, hur många spelare kan vara vänsterhänta?
Lösning
a)Antalet personer som är högerhänta är 82, antalet vänsterhänta är 17, och antalet personer som är lika flytande i båda händerna är 1. Det totala antalet observationer är 100. Således är sannolikheten att en person är högerhänt är P
P = 82/100, eller 0,82, eller 82%.
b) Sannolikheten att en person är vänsterhänt är P, där
P = 17/100, eller 0,17, eller 17%.
c) Sannolikheten att en person är lika flytande i båda händerna är P, där
P = 1/100, eller 0,01, eller 1%.
d) 120 bowlare, och från (b) kan vi förvänta oss att 17% är vänsterhänta. Härifrån
17 % av 120 = 0,17,120 = 20,4,
det vill säga vi kan förvänta oss ett 20-tal spelare som är vänsterhänta.
Exempel 2 Kvalitetskontroll
. Det är mycket viktigt för en tillverkare att upprätthålla kvaliteten på sina produkter hög nivå. Faktum är att företag anlitar kvalitetskontrollinspektörer för att säkerställa denna process. Målet är att producera minsta möjliga antal defekta produkter. Men eftersom företaget producerar tusentals produkter varje dag har det inte råd att testa varje produkt för att avgöra om den är defekt eller inte. För att ta reda på hur stor andel av produkterna som är defekta testar företaget betydligt färre produkter.
Departement Lantbruk USA kräver att 80 % av de frön som säljs av odlare måste gro. För att bestämma kvaliteten på de frön som ett jordbruksföretag producerar planteras 500 frön från de som producerats. Efter detta beräknades det att 417 frön grodde.
a) Vad är sannolikheten att fröet kommer att gro?
b) Uppfyller fröna myndigheternas standarder?
Lösning a) Vi vet att av 500 frön som såddes grodde 417. Sannolikhet för frögroning P, och
P = 417/500 = 0,834 eller 83,4 %.
b) Eftersom andelen grodda frön har överskridit 80 % som krävs, uppfyller fröna myndigheternas standarder.
Exempel 3 TV-betyg. Enligt statistiken finns det 105 500 000 hushåll med tv-apparater i USA. Varje vecka samlas och bearbetas information om visningsprogram. På en vecka tittade 7 815 000 hushåll på succéserien "Everybody Loves Raymond" på CBS och 8 302 000 hushåll tittade på succéserien "Law & Order" på NBC (Källa: Nielsen Media Research). Vad är sannolikheten att ett hushålls TV är inställd på "Everybody Loves Raymond" under en given vecka? till "Law & Order"?
Lösning Sannolikheten att TV:n i ett hushåll är inställd på "Everybody Loves Raymond" är P, och
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Chansen att hushållets TV var inställd på Law & Order är P, och
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Dessa procentsatser kallas betyg.
Teoretisk sannolikhet
Anta att vi genomför ett experiment, som att kasta ett mynt eller pil, dra ett kort från en kortlek eller testa produkter för kvalitet på löpande band. Varje möjlig resultat av ett sådant experiment kallas Exodus . Uppsättningen av alla möjliga utfall kallas resultatutrymme . Händelse det är en uppsättning resultat, det vill säga en delmängd av utrymmet för utfall.
Exempel 4 Att kasta pilar. Antag att i ett pilkastningsexperiment träffar en pil ett mål. Hitta vart och ett av följande:
b) Resultatutrymme
Lösning
a) Resultaten är: slå svart (B), slå rött (R) och slå vitt (B).
b) Utrymmet för utfall är (slå svart, slå rött, slå vitt), vilket enkelt kan skrivas som (H, K, B).
Exempel 5 Kasta tärningar.
En tärning är en kub med sex sidor, var och en med en till sex prickar på. 
Anta att vi kastar tärningar. Hitta
a) Resultat
b) Resultatutrymme
Lösning
a) Resultat: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Resultatutrymme (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Vi betecknar sannolikheten för att en händelse E inträffar som P(E). Till exempel kan "myntet landa på huvuden" betecknas med H. Då representerar P(H) sannolikheten att myntet kommer att landa på huvuden. När alla utfall av ett experiment har samma sannolikhet att inträffa, sägs de vara lika sannolika. För att se skillnaderna mellan händelser som är lika sannolika och händelser som inte är det, överväg målet som visas nedan. 
För mål A är händelserna att träffa svart, rött och vitt lika sannolika, eftersom de svarta, röda och vita sektorerna är desamma. Men för mål B är zonerna med dessa färger inte desamma, det vill säga att träffa dem är inte lika troligt.
Princip P (teoretisk)
Om en händelse E kan inträffa på m sätt av n möjliga lika sannolika utfall från utfallsutrymmet S, då teoretisk sannolikhet
händelser, P(E) är
P(E) = m/n.
Exempel 6 Vad är sannolikheten att slå en tärning för att få en 3:a?
Lösning Det finns 6 lika sannolika utfall på en tärning och det finns bara en möjlighet att kasta siffran 3. Då blir sannolikheten P P(3) = 1/6.
Exempel 7 Vad är sannolikheten att slå ett jämnt tal på en tärning?
Lösning Händelsen är att kasta ett jämnt tal. Detta kan ske på 3 sätt (om du slår en 2, 4 eller 6). Antalet lika sannolika utfall är 6. Då är sannolikheten P(jämn) = 3/6, eller 1/2.
Vi kommer att använda ett antal exempel relaterade till standard däck av 52 kort. Denna kortlek består av korten som visas i figuren nedan. 
Exempel 8 Vad är sannolikheten att dra ett ess från en väl blandad kortlek?
Lösning Det finns 52 utfall (antalet kort i kortleken), de är lika sannolika (om kortleken är väl blandad), och det finns fyra sätt att dra ett ess, så enligt P-principen är sannolikheten
P(dra ett ess) = 4/52, eller 1/13.
Exempel 9 Anta att vi väljer, utan att titta, en boll från en påse med 3 röda bollar och 4 gröna bollar. Vad är sannolikheten att välja en röd boll?
Lösning Det finns 7 lika sannolika resultat av att dra en boll, och eftersom antalet sätt att dra en röd boll är 3, får vi
P(röd bollval) = 3/7.
Följande påståenden är resultat från princip P.
Egenskaper för sannolikhet
a) Om händelse E inte kan inträffa är P(E) = 0.
b) Om händelse E säkert kommer att inträffa är P(E) = 1.
c) Sannolikheten att händelse E inträffar är ett tal från 0 till 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Till exempel, i en myntkastning har den händelse att myntet landar på kanten noll sannolikhet. Sannolikheten att ett mynt är antingen huvuden eller svansar har sannolikheten 1.
Exempel 10 Låt oss anta att 2 kort dras från en kortlek med 52 kort. Vad är sannolikheten att båda är toppar?
Lösning Antalet n sätt att dra 2 kort från en väl blandad kortlek med 52 kort är 52 C 2 . Eftersom 13 av de 52 korten är spader, är antalet sätt m att dra 2 spader 13 C 2 . Sedan,
P(drar 2 toppar) = m/n = 13 C2 / 52 C2 = 78/1326 = 1/17.
Exempel 11 Anta att 3 personer väljs slumpmässigt ut från en grupp på 6 män och 4 kvinnor. Vad är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut?
Lösning Antalet sätt att välja ut tre personer från en grupp på 10 personer är 10 C 3. En man kan väljas på 6 C 1 sätt och 2 kvinnor kan väljas på 4 C 2 sätt. Enligt den grundläggande principen för räkning är antalet sätt att välja 1 man och 2 kvinnor på 6 C 1. 4 C2. Då är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut
P = 6 Ci. 4 C2/10 C3 = 3/10.
Exempel 12 Kasta tärningar. Vad är sannolikheten att kasta totalt 8 på två tärningar?
Lösning Varje tärning har 6 möjliga utfall. Resultaten fördubblas, vilket innebär att det finns 6,6 eller 36 möjliga sätt på vilka siffrorna på de två tärningarna kan visas. (Det är bättre om kuberna är olika, säg att den ena är röd och den andra är blå - detta hjälper till att visualisera resultatet.) 
De talpar som summerar till 8 visas i figuren nedan. Det finns 5 möjliga sätt får en summa lika med 8, därför är sannolikheten 5/36.
Vi vet redan att sannolikhet är ett numeriskt mått på möjligheten att en slumpmässig händelse inträffar, d.v.s. en händelse som kan eller inte kan inträffa om en viss uppsättning villkor är uppfyllda. När en uppsättning villkor ändras kan sannolikheten för en slumpmässig händelse ändras. Som ett ytterligare villkor kan vi överväga förekomsten av en annan händelse. Så, om till den uppsättning förhållanden under vilka en slumpmässig händelse inträffar A, lägg till en till, som består i förekomsten av en slumpmässig händelse I, sedan sannolikheten för att händelsen inträffar A kommer att kallas villkorlig.
Villkorlig sannolikhet för händelse A- sannolikheten för att händelse A inträffar, förutsatt att händelse B inträffar. Villkorlig sannolikhet betecknas med (A).
Exempel 16. Det finns 7 vita och 5 svarta bollar i lådan, som endast skiljer sig i färg. Experimentet går ut på att slumpmässigt ta ut en boll och, utan att lägga tillbaka den, ta ut en annan boll. Vad är sannolikheten att den andra dragna bollen är svart om den första dragna bollen är vit?
Lösning.
Före oss är två slumpmässiga händelser: händelse A– den första dragna bollen visade sig vara vit, I– den andra kulan som dras är svart. A och B är inkompatibla händelser, låt oss använda den klassiska definitionen av sannolikhet. Antalet elementära utfall när man drar den första bollen är 12, och antalet gynnsamma utfall för att få den vita bollen är 7. Därför är sannolikheten P(A) = 7/12.
Om den första bollen visar sig vara vit, är den villkorade sannolikheten för händelsen I- utseendet på den andra svarta bollen (förutsatt att den första bollen var vit) är lika med (I)= 5/11, eftersom innan den andra bollen tas ut finns det 11 bollar kvar, varav 5 är svarta.
Observera att sannolikheten för att en svart boll dyker upp vid det andra draget inte skulle bero på färgen på den första bollen som tas ut om vi, efter att ha tagit bort den första bollen, lägger tillbaka den i rutan.
Betrakta två slumpmässiga händelser A och B. Låt sannolikheterna P(A) och (B) vara kända. Låt oss bestämma sannolikheten för att både händelse A och händelse B inträffar, dvs. produkter från dessa evenemang.
Sannolikhetsmultiplikationssats. Sannolikheten för att två händelser inträffar är lika med produkten av sannolikheten för en av dem och den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad under förutsättning att den första händelsen inträffade:
P(A×B) = P(A)×(B) .
Eftersom för att beräkna sannolikheten för en produkt spelar det ingen roll vilken av de övervägda händelserna A Och I vilket var det första och vilket var det andra, kan vi skriva:
P(A×B) = P(A) × (B) = P(B) × (A).
Satsen kan utökas till en produkt av n händelser:
P(AiA2. Ap) = P(Ax) P(A2/A1) .. P(Ap/AiA2 ... A p-1).
Exempel 17. För villkoren i det föregående exemplet, beräkna sannolikheten för att dra två bollar: a) den vita bollen först och den svarta bollen sedan; b) två svarta kulor.
Lösning.
a) Från föregående exempel vet vi sannolikheterna för att få ut den vita bollen ur lådan först och den svarta bollen sedan, förutsatt att den vita bollen drogs ut först. För att beräkna sannolikheten för att båda händelserna ska inträffa samtidigt använder vin: P(A×B) = P(A) × (B)= 
.
b) På samma sätt beräknar vi sannolikheten att dra två svarta kulor. Sannolikhet att få den svarta bollen först .
Sannolikheten att dra en svart boll en andra gång, förutsatt att vi inte lägger tillbaka den första svarta bollen som tas ut i rutan
(det finns 4 svarta bollar kvar, och det finns 11 bollar totalt). Den resulterande sannolikheten kan beräknas med hjälp av formeln P(A×B)= P(A) × (B) 
0,152.
Shar en enklare form om händelserna A och B är oberoende.
Händelse B sägs vara oberoende av händelse A om sannolikheten för händelse B inte ändras oavsett om händelse A inträffar eller inte. Om händelse B är oberoende av händelse A, är dess villkorade sannolikhet (B) lika med den vanliga sannolikheten P(B):
Det visar sig att om händelsen I kommer att vara oberoende av händelsen A, sedan händelsen A kommer att vara oberoende av I, dvs. (A)= P(A).
Låt oss bevisa det. Låt oss ersätta jämställdheten från definitionen av oberoende av en händelse I från evenemanget A tilln: P(A×B) = P(A)× (B)= P(A)× (B). Men på annat sätt P(A×B)= P(B) × (A). Betyder P(A) × (B)= P(B) × (A) Och (A)= P(A).
Således är egenskapen för oberoende (eller beroende) av händelser alltid ömsesidig och följande definition kan ges: två händelser kallas oberoende, om utseendet på en av dem inte ändrar sannolikheten för utseendet på den andra.
Det bör noteras att händelsernas oberoende är baserad på oberoendet av den fysiska karaktären av deras ursprung. Detta innebär att uppsättningarna av slumpmässiga faktorer som leder till ett eller annat utfall av att testa en och annan slumpmässig händelse är olika. Så att till exempel träffa ett mål med en skytt påverkar inte på något sätt (såvida du inte kommer på några exotiska skäl) på sannolikheten att träffa målet med en andra skytt. I praktiken inträffar oberoende händelser mycket ofta, eftersom orsakssambandet mellan fenomen i många fall är frånvarande eller obetydligt.
Sannolikhetsmultiplikationssats för oberoende händelser. Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheten för dessa händelser: P(A×B) = P(A) × P(B).
Följande följd följer av sför oberoende händelser.
Om händelserna A och B är inkompatibla och P(A)¹0, P(B)¹0, så är de beroende.
Låt oss bevisa detta genom motsägelse. Låt oss anta att oförenliga händelser A Och I oberoende. Sedan P(A×B) = P(A)×P(B). Och sedan P(A)10, P(B)110, dvs. evenemang A Och Iär alltså inte omöjligt P(A×B)¹0. Men å andra sidan händelsen Až Iär omöjligt som ett verk oförenliga händelser(detta diskuterades ovan). Betyder P(A×B)=0. fick en motsägelse. Därför är vårt ursprungliga antagande felaktigt. evenemang A Och I- beroende.
Exempel 18. Låt oss nu återgå till det olösta problemet med två skyttar som skjuter mot samma mål. Låt oss komma ihåg att om sannolikheten att träffa målet av den första skytten är 0,8 och den andra är 0,7, är det nödvändigt att hitta sannolikheten att träffa målet.
evenemang A Och I– att träffa målet av den första respektive andra skytten är därför gemensamma för att hitta sannolikheten för summan av händelser A + I– träffa målet med minst en skytt – du måste använda formeln: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(Až I). evenemang A Och I oberoende alltså P(A×B) = P(A) × P(B).
Så, P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B).
P(A+B)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.
Exempel 19.
Två oberoende skott avlossas mot samma mål. Sannolikheten för en träff på det första skottet är 0,6 och på det andra - 0,8. Hitta sannolikheten att träffa målet med två skott.
1) Låt oss beteckna en träff på det första skottet som en händelse
A 1, med den andra - som händelsen A 2.
Att träffa målet kräver minst en träff: antingen bara med det första skottet, eller bara med det andra, eller med både det första och andra skottet. Därför kräver problemet att bestämma sannolikheten för summan av två gemensamma händelser A 1 och A 2:
P(Ai + A2) = P(Ai) + P(A2) - P(AiA2).
2) Eftersom händelserna är oberoende, så är P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2).
3) Vi får: P(A 1 + A 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Om händelserna är inkompatibla, då P(A B) = 0 och P(A + B) = = P(A) + P(B).
Exempel 20.
Urnan innehåller 2 vita, 3 röda och 5 blå bollar av samma storlek. Vad är sannolikheten att en boll som dras slumpmässigt från en urna kommer att färgas (inte vit)?
1) Låt händelse A vara borttagandet av en röd boll från urnan,
händelse B - rita den blå bollen. Sedan händelse (A + B)
det är utvinning av en färgad kula från en urna.
2) P(A) = 3/10, P(B) = 5/10.
3) Händelser A och B är inkompatibla, eftersom endast
en boll. Då: P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.
Exempel 21.
Urnan innehåller 7 vita och 3 svarta kulor. Vad är sannolikheten att: 1) dra en vit boll från urnan (händelse A); 2) ta bort en vit kula från urnan efter att ha tagit bort en kula från den, som är vit (händelse B); 3) ta bort en vit kula från urnan efter att ha tagit bort en kula från den, vilken är svart (händelse C)?
1) P(A) = = 0,7 (se klassisk sannolikhet).
2)P B(A) = = 0,(6).
3) RS (A) = | = 0,(7).
Exempel 22.
Mekanismen är sammansatt av tre identiska delar och anses inte fungera om alla tre delarna misslyckas. Det finns 15 delar kvar i monteringsbutiken, varav 5 är icke-standardiserade (defekta). Vad är sannolikheten för att en mekanism som är sammansatt av de återstående delarna tagna slumpmässigt inte fungerar?
1) Låt oss beteckna den önskade händelsen med A, valet av den första icke-standardiserade delen med A 1, den andra med A 2, den tredje med A 3
2) Händelse A kommer att inträffa om både händelse A 1, händelse A 2 och händelse A 3 inträffar, dvs.
A = A 1 A 2 A 3,
eftersom det logiska "och" motsvarar en produkt (se avsnittet "Propositionalgebra. Logiska operationer").
3) Händelser A 1, A 2, A 3 är beroende, därför P(A 1 A 2 A 3) =
= P(Ai) P(A2/A1) P(A3/A1A2).
4)P(Ai) = ,P(A2/A1) = ,P(A3/AiA2)=. Sedan
P(AiA2A3) = 0,022.
För oberoende händelser: P(A B) = P(A) P(B).
Baserat på ovanstående är kriteriet för oberoende av två händelser A och B:
P(A) = P B (A) = P (A), P (B) = P A (B) = P (B).
Exempel 23.
Sannolikheten att träffa målet av den första skytten (händelse A) är 0,9, och sannolikheten att träffa målet av den andra skytten (händelse B) är 0,8. Vad är sannolikheten att målet kommer att träffas av minst en skytt?
1) Låt C vara händelsen av intresse för oss; den motsatta händelsen är att båda skyttarna missar.
3) Eftersom när man skjuter en skytt inte stör den andra, är händelserna oberoende.
Vi har: P() = P() P() = =(1 - 0,9) (1 - 0,8) =
0,1 0,2 = 0,02.
4) P(C) = 1 -P() = 1 -0,02 = 0,98.
Total sannolikhetsformel
Låt händelse A inträffa som ett resultat av manifestationen av en och endast en händelse H i (i = 1,2,... n) från någon komplett grupp av oförenliga händelser H 1, H 2,... H n. Händelser i denna grupp brukar kallas hypoteser.
Formel för total sannolikhet. Sannolikheten för händelse A är lika med summan av parade produkter av sannolikheterna för alla hypoteser som bildar en komplett grupp med motsvarande betingade sannolikheter för en given händelse A:
P(A) = 
, där = 1.
Exempel 24.
Det finns 3 identiska urnor. Den första urnan innehåller 2 vita och 1 svarta bollar, den andra urnan innehåller 3 vita och 1 svarta bollar, och den tredje urnan innehåller 2 vita och 2 svarta bollar. 1 boll väljs från en slumpmässigt vald urna. Vad är sannolikheten att han blir vit?
Alla urnor anses vara lika, därför är sannolikheten för att välja den i:te urnan
Р(Hi) = 1/3, där i = 1, 2, 3.
2) Sannolikhet att dra en vit boll från den första urnan: (A) = .
Sannolikhet att dra en vit boll från den andra urnan: (A) = .
Sannolikhet att dra en vit boll från den tredje urnan: (A) = .
3) Den nödvändiga sannolikheten:
P(A) = 
=0.63(8)
Exempel 25.
Butiken tar emot produkter till försäljning från tre fabriker, vars relativa andelar är: I - 50%, II - 30%, III - 20%. För fabriksprodukter är defekterna: I - 2%, P - 2%, III - 5%. Vad är sannolikheten för att en produkt av denna produkt, som av misstag köpts i en butik, visar sig vara av god kvalitet (händelse A)?
1) Följande tre hypoteser är möjliga här: H 1, H 2, H 3 -
den köpta varan tillverkades i respektive fabriker I, II, III; systemet med dessa hypoteser är komplett.
Sannolikheter: P(H 1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H3) = 0,2.
2) Motsvarande villkorade sannolikheter för händelse A är: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (A) = = 1-0,05 = 0,95.
3) Enligt totalsannolikhetsformeln har vi: P(A) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.
Posterior sannolikhetsformel (Bayes formel)
Låt oss överväga situationen.
Det finns en komplett grupp av inkonsekventa hypoteser H 1, H 2, ... H n, vars sannolikheter (i = 1, 2, ... n) är kända före experimentet (a priori sannolikheter). Ett experiment (test) utförs, som ett resultat av vilket förekomsten av händelse A registreras, och det är känt att våra hypoteser tilldelade denna händelse vissa sannolikheter (i = 1, 2, ... n). Vilka är sannolikheterna för dessa hypoteser efter experimentet (a posteriori sannolikheter)?
Svaret på en liknande fråga ges av den bakre sannolikhetsformeln (Bayes formel):
, där i=1,2, ...s.
Exempel 26.
Sannolikheten att träffa ett flygplan med ett enda skott för det första missilsystemet (händelse A) är 0,2 och för det andra (händelse B) - 0,1. Vart och ett av komplexen skjuter ett skott och en träff registreras på planet (händelse C). Vad är sannolikheten att det lyckade skottet tillhör det första missilsystemet?
Lösning.
1) Före experimentet är fyra hypoteser möjliga:
H 1 = A B - planet träffas av det första komplexet och planet träffas av det andra komplexet (produkten motsvarar det logiska "och"),
H 2 = A B - planet träffas av det första komplexet och planet träffas inte av det andra komplexet,
H 3 = A B - planet träffas inte av det första komplexet och planet träffas av det andra komplexet,
H 4 = A B - planet träffas inte av 1:a komplexet och planet träffas inte av 2:a komplexet.
Dessa hypoteser bildar en komplett grupp av händelser.
2) Motsvarande sannolikheter (med oberoende verkan av komplex):
P(Hi) = 0,2 0,1 = 0,02;
P(H2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;
P(H3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;
P(H4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.
3) Eftersom hypoteserna utgör en komplett grupp av händelser måste likheten = 1 vara uppfylld.
Vi kontrollerar: P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) + P(H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, alltså är den aktuella gruppens hypotes korrekt.
4) Villkorliga sannolikheter för den observerade händelsen C under dessa hypoteser kommer att vara: (C) = 0, eftersom en träff registrerades enligt villkoren för problemet, och hypotes H 1 antar två träffar:
(C) = 1; (C) = 1.
(C) = 0, eftersom en träff enligt villkoren för problemet registrerades, och hypotes H 4 antar frånvaron av träffar. Därför elimineras hypoteserna H 1 och H 4.
5) Vi beräknar sannolikheterna för hypoteserna H 2 och H 3 med Bayes formel:
0,7, 
0,3.
Sålunda kan man med en sannolikhet på cirka 70 % (0,7) konstatera att det lyckade skottet tillhör det första missilsystemet.
5.4. Slumpmässiga variabler. Fördelningslag för en diskret stokastisk variabel
Ganska ofta i praktiken övervägs sådana tester, som ett resultat av vilket ett visst antal erhålls slumpmässigt. Till exempel, när du kastar en tärning får du ett antal poäng från 1 till 6, när du tar 6 kort från en kortlek får du från 0 till 4 ess. Under en viss tid (säg en dag eller en månad) registreras ett visst antal brott i staden, ett visst antal trafikolyckor inträffar. En pistol avfyras. Projektilens flygräckvidd får också ett slumpmässigt värde.
I alla ovan listade tester står vi inför så kallade slumpvariabler.
En numerisk storhet som får ett eller annat värde som ett resultat av ett stickprov kallas slumpvariabel.
Konceptet med en slumpvariabel spelar en mycket viktig roll i sannolikhetsteorin. Om den "klassiska" sannolikhetsteorin studerade främst slumpmässiga händelser, då handlar modern sannolikhetsteori i första hand om slumpvariabler.
I det följande kommer vi att beteckna slumpvariabler med stora latinska bokstäver X, Y, Z, etc., och deras möjliga värden med motsvarande gemener x, y, z. Till exempel, om en slumpmässig variabel har tre möjliga värden, kommer vi att beteckna dem på följande sätt: , , .
Så exempel på slumpvariabler kan vara:
1) antalet poäng rullade på tärningens översida:
2) antalet ess när man tar 6 kort från leken;
3) antalet registrerade brott per dag eller månad;
4) antalet träffar på målet med fyra skott från en pistol;
5) avståndet som en projektil kommer att färdas när den avfyras från en pistol;
6) längden på en slumpmässig person.
Du kan märka att i det första exemplet kan den slumpmässiga variabeln ta ett av sex möjliga värden: 1, 2, 3, 4, 5 och 6. I det andra och fjärde exemplet är antalet möjliga värden för den slumpmässiga variabeln fem: 0, 1, 2, 3, 4 I det tredje exemplet kan slumpvariabelns värde vara vilket (teoretiskt) naturligt tal som helst eller 0. I det femte och sjätte exemplet kan den slumpmässiga variabeln ta vilket reellt värde som helst från en visst intervall ( A, b).
Om en slumpvariabel kan ta en ändlig eller räknebar uppsättning värden, så kallas den diskret(diskret utdelad).
Kontinuerlig En slumpvariabel är en slumpvariabel som kan ta alla värden från ett visst ändligt eller oändligt intervall.
För att ange en slumpvariabel räcker det inte att lista dess möjliga värden. Till exempel, i det andra och tredje exemplet kan de slumpmässiga variablerna ta samma värden: 0, 1, 2, 3 och 4. Sannolikheterna med vilka dessa slumpvariabler tar sina värden kommer dock att vara helt olika. Därför, för att ange en diskret slumpmässig variabel, förutom listan över alla möjliga värden, måste du också ange deras sannolikheter.
Överensstämmelsen mellan möjliga värden för en slumpvariabel och deras sannolikheter kallas distributionslag diskret slumpvariabel. , …, X=
Fördelningspolygonen, liksom fördelningsserien, kännetecknar helt den slumpmässiga variabeln. Det är en av formerna för distributionslagen.
Exempel 27. Ett mynt kastas slumpmässigt. Konstruera en rad och en polygon för fördelningen av antalet tappade vapensköldar.
En slumpvariabel lika med antalet tappade vapensköldar kan ha två värden: 0 och 1. Värde 1 motsvarar händelsen - förlusten av ett vapen, värde 0 - förlusten av huvuden. Sannolikheterna att få ett vapen och få en svans är lika och lika. De där. sannolikheterna med vilka en slumpvariabel tar värdena 0 och 1 är lika. Distributionsserien ser ut så här:
| X | ||||
| sid |
Om du har spelat poker länge har du kanske märkt att det ibland finns händer vid borden som verkar långt ifrån verkligheten och som inte lämpar sig för matematiska lagar. I detta material kommer vi att berätta om pokersannolikheter av olika slag.
Sannolikhetsteori spelar en stor roll i poker. Poker är ett spel som bygger på chanser, sannolikheter och... Att ignorera och inte veta pokermatematik kommer i slutändan att leda alla olyckliga spelare till ekonomisk ruin. Tur kan spela en viktig roll på kort sikt, men ju längre du spelar, desto viktigare blir sannolikheterna för poker.
I de flesta fall kan du bestämma dina odds med hjälp av grundläggande aritmetik, såväl som speciella och . Förståelse poker odds kommer att tillåta dig att vinna oftare än spelare som blint hoppas på tur.
Sannolikheter före floppen
Spelare spelar inte poker "i ett vakuum"; varje spelare måste bygga på sin motståndares räckvidd och beräkna sina chanser att vinna exklusivt mot en specifik motståndare. I tabellen nedan ger vi dig sannolikheterna att vinna mot olika handintervall.
Sannolikheter för vissa situationer före floppen
Sannolikheter efter floppen
Låt oss nu titta på sannolikheten för olika händelser när du spelar olika .
Nybörjare överskattar ofta värdet starthänder, Till exempel, . Som du kan se träffar färgkort inte färgningar tillräckligt ofta. Dessutom träffar pocketpar bara ett set 12% av tiden, så att spela små fickkort är inte alltid lönsamt.
Sannolikheter för pokerhand
I denna del av materialet kommer vi att berätta om de matematiska sannolikheterna för att komponera olika.
Som du kan se är royal flush den sällsynta och starkaste pokerhand. Sannolikheten att slå en royal flush i poker är 1 på 649 740. Chansen att fånga denna kombination på floppen med pocket Broadway-kort är 0,0008%. Om det finns en potentiell royal flush på brädet, är sannolikheten att den kommer att träffa på turn 2% och före river - 4%.
Svalare sannolikheter
En cooler är en situation vid pokerbordet när en spelare förlorar en hand inte på grund av sina egna misstag, utan på grund av en olycklig kombination av omständigheter och en starkare hand hos sin motståndare. Detta är en klassisk som professionella pokerspelare använder i sitt ordförråd.
Kungar till Ess
Med ess har du inget att frukta innan floppen, men om du har pocketkungar kan du alltid vara försiktig med dina motståndares ess. Men kommer sådana kylare att hända tillräckligt ofta? Om du spelar heads-up kommer din motståndare bara att få pocket-ess en gång av 220 händer. Men vid ett fullringbord mot 8 motståndare är chansen att någon får ess mot dina pocketkungar mycket högre. Sannolikheten för denna händelse är 1 på 25.
Drottningar till kungar (ess)
Drottningar är en mycket mer sårbar hand än kungar. Oftare än inte kommer du att ligga före med dem före floppen, men bortse från möjligheten att en av dina motståndare fick kungar eller ess. Vid ett fullt bord är sannolikheten att detta händer 1 på 12. En höjning, re-raise och all-in framför dig indikerar att en av dina motståndare har fått ett monster och att du bör lägga dina damer.
Viktiga sannolikheter för par med höga fickor
Sannolikhet att hamna i set
Låt oss nu prata om svalare situationer efter floppen. Som du redan vet är sannolikheten att floppa ett set med ett pocketpar 12% eller 1 på 8. Men den händelse som många pokerspelare fruktar är att floppa ett set mot ett starkare set. Om två spelare har ett pocketpar, kommer situationen där båda spelarna slår ett set på floppen att inträffa en gång var hundra floppar.
Sannolikhet att få fyra lika i fyra lika
Låt oss gå vidare från uppsättningen till en ännu starkare kombination. Oddsen för att träffa fyra lika när du har ett hålkort och ett set på floppen är 1 på 123.
Om sannolikheten att få ett set i ett set inte är för hög, så är sannolikheten för en situation där två spelare får fyra lika i en hand 1 på 39 000 i heads-up och 1 på 313 000 händer vid ett fullt bord. För de flesta pokerspelare kommer denna händelse bara att inträffa en gång under hela deras karriär.
En gedigen kunskap om pokerodds och sannolikheter hjälper dig att anpassa din taktik till din fördel under spelet, och bara att förstå de matematiska principerna kommer att ge dig den känslomässiga stabiliteten för att spela ditt bästa spel.
